延长多边形

manthanein

有个很经典的问题，就是给定三角形ABC，延长AB、BC、CA使得新线段的长度是原线段的两倍，连接三个新端点，所得的三角形面积是原三角形的多少倍？

这个问题不难，我考虑的是它的一般情况：给定凸多边形\(AA_1A_2......A_n\)，依次延长\(AA_1\)、\(A_1A_2\)……\(A_nA\)，每次延长后新线段与原线段的长度比分别为\(k_1\)、\(k_2\)……\(k_n\)。依次连接所有延长后的新端点组成的多边形与原多边形的面积比是否为定值？如果是，定值是多少？

manthanein

拿几何画板试了下，四边形ABCD，延长AB、BC、CD、DA到原来的两倍，所得的新四边形是原来的五倍。

mathe

五边以上应该不是常数了，甚至凸多边形变化后是否会凹，凹的变化后是否会自相交都很难说

manthanein

mathe 发表于 2020-12-15 06:32
五边以上应该不是常数了，甚至凸多边形变化后是否会凹，凹的变化后是否会自相交都很难说

试了下，五边形情况确实不是常数，问题就变成了三角形和四边形的情况，以及正多边形的情况。