等角多边形

manthanein

如果一个凸多边形的所有内角都相等，我们就叫它等角多边形。
显然，等角三角形一定是正三角形，而等角四边形只是矩形。
更复杂的情况呢？

uk702

有意思，IMO 1990年第6题，证明存在一个边数为1990的多边形，满足：
1）所有角都相等;
2）1990条边的边长是 1^2，2^2, ..., 1990^2 的一个排列。

manthanein

uk702 发表于 2020-12-15 15:41
有意思，IMO 1990年第6题，证明存在一个边数为1990的多边形，满足：
1）所有角都相等;
2）1990条边的边长 ...

目测n边形（n大于3）都是可以等角不等边的，问题是可以有多不等边。

uk702

问一个最简单的，以为 1, 2, 3, 4 为边长组成一个凸四边形，面积最大是多少？最小是多少？

zeroieme

我只想说欧氏几何下平行线同位角相等

uk702

从最基础的开始，提一些细化具体的问题，比如：
1）等角五边形，假设它的五条边的长度分别为 a1, a2,  a3, a4, a5，b1, b2, b3, b4, b5 分别是这 5 条边按从大到小排列，显然，b2+b3+b4+b5 > b1，由此推出 4*b2 > b1，也就是说，b1/b2 < 4，那么，b1/b2 的最大值是多少？更一般地，n 边等角多边形，b1/b2 的最大值是多少？
2） 除了 \(b_1/b_2\) 外，是否 \(b_i/b_{i+1}\)  是否都将趋于无穷大？考虑到以将一个矩形剪角并略加修正的方式构造等角 n 边形，感觉这个命题很有可能是成立的。
3）论文 http://www.doc88.com/p-6661325161112.html 指出，n=5 时，没有算术等角五边形，那么，等角五边形的边长有哪些整数解？

特别感谢 hujunhua 老师的指正。