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[提问] 等角多边形

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发表于 2020-12-15 09:56:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如果一个凸多边形的所有内角都相等,我们就叫它等角多边形。
显然,等角三角形一定是正三角形,而等角四边形只是矩形。
更复杂的情况呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-15 15:41:11 | 显示全部楼层
有意思,IMO 1990年第6题,证明存在一个边数为1990的多边形,满足:
1)所有角都相等;
2)1990条边的边长是 1^2,2^2, ..., 1990^2 的一个排列。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-12-15 16:31:44 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2020-12-15 15:41
有意思,IMO 1990年第6题,证明存在一个边数为1990的多边形,满足:
1)所有角都相等;
2)1990条边的边长 ...

目测n边形(n大于3)都是可以等角不等边的,问题是可以有多不等边。

点评

错了!错得还很离谱。至少矩形的情况下,最大边比最少边就可以趋于无穷大。  发表于 2020-12-15 18:21
至于能有多不等边,确实很值得研究。由于至少要满足三角形任意一条边的长度必须小于其余两条边的长度,因此,最长的边除以最小的边,其上限不会超过 2^n ,究竟最大能是多少,感觉很有搞头。  发表于 2020-12-15 17:43
搜了网上的一篇论文,说只要 n 有两个以上的不同素因子,就存在算术等角 n 边形。所谓的算术等角 n 边形是指这个等角 n 边形的边长是 1, 2, ..., n 的一个排列。  发表于 2020-12-15 17:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-15 16:51:27 | 显示全部楼层
问一个最简单的,以为 1, 2, 3, 4 为边长组成一个凸四边形,面积最大是多少?最小是多少?

点评

@hujunhua 退化是否只有一种情况,就是1,4,2,3 这总排列?我本来的意思是 4 条边按 1, 2, 3, 4 这种方式排列,这种方式感觉不会退化,当然纯粹是感觉。  发表于 2020-12-15 17:05
最小就省了吧,会退化的。  发表于 2020-12-15 17:00
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-12-15 18:35:28 | 显示全部楼层
我只想说欧氏几何下平行线同位角相等
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发表于 2020-12-16 08:49:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-12-16 08:52 编辑

从最基础的开始,提一些细化具体的问题,比如:
1)等角五边形,假设它的五条边的长度分别为 a1, a2,  a3, a4, a5,b1, b2, b3, b4, b5 分别是这 5 条边按从大到小排列,显然,b2+b3+b4+b5 > b1,由此推出 4*b2 > b1,也就是说,b1/b2 < 4,那么,b1/b2 的最大值是多少?更一般地,n 边等角多边形,b1/b2 的最大值是多少?
2) 除了 \(b_1/b_2\) 外,是否 \(b_i/b_{i+1}\)  是否都将趋于无穷大?考虑到以将一个矩形剪角并略加修正的方式构造等角 n 边形,感觉这个命题很有可能是成立的。
3)论文 http://www.doc88.com/p-6661325161112.html 指出,n=5 时,没有算术等角五边形,那么,等角五边形的边长有哪些整数解?

特别感谢 hujunhua 老师的指正。
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