复数形式的三角形内心公式

TSC999

复平面上的三角形ABC的顶点所在复数用a,b,c表示，内心所在复数用In表示，则\[\text{In}=\frac{a|b-c|+b|c-a|+c|a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\]
经过验证，上面这个公式正确无误。这公式是怎样证明的？

gxqcn

用复数去理解不如用向量，后者可轻松推广到三维空间情形。

至于证明，可参考：三角形内心坐标公式的推导（向量法）

TSC999

谢谢楼上的那个结论。按这个结论可立即获得 1# 所需的证明：

creasson

记$w,\alpha,\beta,\gamma$分别为$z,a,b,c$的共轭，那么还有方程：

$ -a^2 b \beta -a^2 b \gamma +2 a^2 b w+a^2 \beta  c+a^2 c \gamma -2 a^2 c w+\alpha  a b^2+a b^2 \gamma -2 a b^2 w-2 \alpha  a b z+2 a b \beta  z-\alpha  a c^2-a \beta  c^2+2 a c^2 w+2 \alpha  a c z-2 a c \gamma  z-a \beta  z^2+a \gamma  z^2-\alpha  b^2 c-b^2 c \gamma +2 b^2 c w+\alpha  b c^2+b \beta  c^2-2 b c^2 w-2 b \beta  c z+2 b c \gamma  z+\alpha  b z^2-b \gamma  z^2-\alpha  c z^2+\beta  c z^2 = 0$

dlsh

很遗憾，主贴中的公式，很难证明https://bbs.emath.ac.cn/thread-17486-1-1.html中的定理。

dlsh

三角形内角平分线相等则该三角形是等腰三角形用软件没有完全证明，建议楼主试试。