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[求助] 由三角形顶点坐标求内心坐标的公式,求证明。

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发表于 2020-12-16 22:16:05 | 显示全部楼层 |阅读模式

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内心坐标公式.png

经过验证,上面这个公式正确无误。这公式是怎样证明的?

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-17 09:05:08 | 显示全部楼层
用复数去理解不如用向量,后者可轻松推广到三维空间情形。

至于证明,可参考:三角形内心坐标公式的推导(向量法)

点评

链接中的公式用向量比较容易推导。  发表于 2020-12-17 20:55
三维如何推广?向量很难证明很难的定理。  发表于 2020-12-17 20:51
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 楼主| 发表于 2020-12-17 10:02:59 | 显示全部楼层
谢谢楼上的那个结论。按这个结论可立即获得 1# 所需的证明:

由已知结论证明.png

点评

旁心可能把其中一个正号改成负数就行  发表于 2020-12-17 20:57
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发表于 2020-12-17 18:24:56 | 显示全部楼层
记$w,\alpha,\beta,\gamma$分别为$z,a,b,c$的共轭,那么还有方程:

$ -a^2 b \beta -a^2 b \gamma +2 a^2 b w+a^2 \beta  c+a^2 c \gamma -2 a^2 c w+\alpha  a b^2+a b^2 \gamma -2 a b^2 w-2 \alpha  a b z+2 a b \beta  z-\alpha  a c^2-a \beta  c^2+2 a c^2 w+2 \alpha  a c z-2 a c \gamma  z-a \beta  z^2+a \gamma  z^2-\alpha  b^2 c-b^2 c \gamma +2 b^2 c w+\alpha  b c^2+b \beta  c^2-2 b c^2 w-2 b \beta  c z+2 b c \gamma  z+\alpha  b z^2-b \gamma  z^2-\alpha  c z^2+\beta  c z^2 = 0$

点评

如何区别内心和旁心  发表于 2020-12-19 22:30
在 mathematica 中,共轭复数是用字母右上角加个星号或者是字母上面加一横表示。  发表于 2020-12-19 10:50
建议共轭复数用通用字母顶加横线表示,因为这是通用的表示,请问这公式如何得到  发表于 2020-12-17 20:48
取共轭后得到另一个方程,消去w可得到z关于a,b,c的四次方程,四个解分别是内心和三个旁心。  发表于 2020-12-17 18:34
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发表于 2020-12-17 20:57:10 | 显示全部楼层
很遗憾,主贴中的公式,很难证明https://bbs.emath.ac.cn/thread-17486-1-1.html中的定理。
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发表于 2020-12-19 22:29:50 | 显示全部楼层
三角形内角平分线相等则该三角形是等腰三角形用软件没有完全证明,建议楼主试试。
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