求积分 \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\ln(-\ln x) \ln(1-x)}{x} dx\)

笨笨

这个在怎么继续？？？

\[\begin{gathered}
  \int_0^1 {\frac{{\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)}}{x}} dx = \int_0^1 {\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)} d(\ln x) \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \,\;\;\,\;\,\underline{\underline {( 令：- \ln x = t)}} \int_0^\infty  {\ln t\ln (1 - {e^{ - t}})} dt \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, = \int_0^\infty  {\ln x\ln (1 - {e^{ - x}})} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\ln x} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \int_\lambda ^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} }  \hfill \\
\end{gathered} \]

笨笨

求极限\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} } \)

ShuXueZhenMiHu

在附件里，能看清吗？可以用吗？

笨笨

ShuXueZhenMiHu 发表于 2020-12-28 11:13
在附件里，能看清吗？可以用吗？

2楼那个极限怎么算，可有文献

mathe

\(\int_0^{\infty}\exp(-nx)\ln(x)dx\)对于\(\ln(x)\)做泰勒展开再积分即可