数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 506|回复: 4

[求助] 求积分 \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\ln(-\ln x) \ln(1-x)}{x} dx\)

[复制链接]
发表于 2020-12-28 00:17:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
这个在怎么继续???

\[\begin{gathered}
  \int_0^1 {\frac{{\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)}}{x}} dx = \int_0^1 {\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)} d(\ln x) \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \,\;\;\,\;\,\underline{\underline {( 令:- \ln x = t)}} \int_0^\infty  {\ln t\ln (1 - {e^{ - t}})} dt \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, = \int_0^\infty  {\ln x\ln (1 - {e^{ - x}})} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\ln x} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \int_\lambda ^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} }  \hfill \\
\end{gathered} \]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-12-28 00:18:28 | 显示全部楼层
求极限\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} } \)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-28 11:13:29 | 显示全部楼层
在附件里,能看清吗?可以用吗?
222.gif
111.gif
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-12-28 12:29:17 | 显示全部楼层
ShuXueZhenMiHu 发表于 2020-12-28 11:13
在附件里,能看清吗?可以用吗?

2楼那个极限怎么算,可有文献
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-28 13:24:21 | 显示全部楼层
\(\int_0^{\infty}\exp(-nx)\ln(x)dx\)对于\(\ln(x)\)做泰勒展开再积分即可
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-3-9 16:11 , Processed in 0.067933 second(s), 19 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表