求通项公式

王守恩

    若 a, b, c, d, n, m 均为正整数。

\(\ \ \ \D\prod_{k=1}^{\infty}\ \frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k+d}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}=\frac{n}{m}\)

    问：如何用 a, b, c, d 来表示\(\ \D\frac{n}{m}\ \)的通项公式？

王守恩

换一道题。
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里： 3 ≤ k ≤ n， 1 ≤ i ＜ j ＜ k
试证：当 6 < n 时，an = Fn - 1 无解。
Fn(兔子数列)= 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,....

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-18 20:44
换一道题。
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj

正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里： 3 ≤ k ≤ n， 1 ≤ i ＜ j ＜ k
试证：当6<n时，an=Fn-F(n-5)恰好有2个解 。
Fn(兔子数列)= 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89, ....
譬如：
n=7, a7=21-2=19：1, 2, 3, 5, 7, 12, 19; 1, 2, 3, 5, 8, 11, 19
n=8, a8=34-3=31：1, 2, 3, 5, 7, 12, 19, 31; 1, 2, 3, 5, 8, 13, 18, 31
n=9, a9=55-5=50：1, 2, 3, 5, 7, 12, 19, 31, 50; 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 29, 50

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-19 15:53
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里： 3 ≤ k ≤ n， 1 ≤ i  ...

正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里： 3 ≤ k ≤ n， 1 ≤ i ＜ j ＜ k
试证：a18=3152 只有 1 个解 。

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-22 16:29
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里： 3 ≤ k ≤ n， 1 ≤ i  ...

正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里： 3 ≤ k ≤ n， 1 ≤ i ＜ j ＜ k
试证：a4=4, a6=12, a8=30, a10=80, a12=208,... 只有 1 个解 。
a04=004=02*02=003+01^2=005-1^1=008-02^2
a06=012=03*04=008+02^2=013-1^1=021-03^2
a08=030=05*06=021+03^2=034-2^2=055-05^2
a10=080=08*10=055+05^2=089-3^2=144-08^2
a12=208=13*16=144+08^2=233-5^2=377-13^2
a14=546=21*26=377+13^2=610-8^2=987-21^2
............
在茫茫数海中，就是有这样一串数，只有 1 个解 ，不多也不少，永远不会被吞没。

王守恩

王守恩 发表于 2021-2-1 19:49
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里： 3 ≤ k ≤ n， 1 ≤  ...

通项公式。
\(\D a(n)=\frac{(1+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})^n+(1-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})^n-\cos(n\pi)2^{n+1}}{5×2^n}\)
  {4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}

王守恩

王守恩 发表于 2021-2-2 12:24
通项公式。
\(\D a(n)=\frac{(1+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})^n+(1-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})^n-\cos(n\pi)2^{n ...

通项公式。

\(\D a(n)=\sum_{k=1}^n\frac{\big((1+\sqrt{5})^k-(1-\sqrt{5})^k\big)^2}{5*2^{2k-1}}\)
  {4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}

王守恩

王守恩 发表于 2021-2-2 15:43
通项公式。

\(\D a(n)=\sum_{k=1}^n\frac{\big((1+\sqrt{5})^k-(1-\sqrt{5})^k\big)^2}{5*2^{2k-1}} ...

{4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}
004=1,2,3,4
012=1,2,3,5,7,12
030=1,2,3,5,8,11,19,30
080=1,2,3,5,8,13,18,31,49,80
208=1,2,3,5,8,13,21,29,50,79,129,208
546=1,2,3,5,8,13,21,34,47,81,128,209,337,546
答案是唯一的！只有一条路！？为什么？？？