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[讨论] 求通项公式

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发表于 2021-1-1 14:07:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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    若 a, b, c, d, n, m 均为正整数。

\(\ \ \ \D\prod_{k=1}^{\infty}\ \frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k+d}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}=\frac{n}{m}\)

    问:如何用 a, b, c, d 来表示\(\ \D\frac{n}{m}\ \)的通项公式?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-18 20:44:46 | 显示全部楼层
换一道题。
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里: 3 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i < j < k
试证:当 6 < n 时,an = Fn - 1 无解。
Fn(兔子数列)= 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,....
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-19 15:53:06 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-1-18 20:44
换一道题。
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj

正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里: 3 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i < j < k
试证:当6<n时,an=Fn-F(n-5)恰好有2个解 。
Fn(兔子数列)= 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89, ....
譬如:
n=7, a7=21-2=19:1, 2, 3, 5, 7, 12, 19; 1, 2, 3, 5, 8, 11, 19
n=8, a8=34-3=31:1, 2, 3, 5, 7, 12, 19, 31; 1, 2, 3, 5, 8, 13, 18, 31
n=9, a9=55-5=50:1, 2, 3, 5, 7, 12, 19, 31, 50; 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 29, 50
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-22 16:29:19 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-1-19 15:53
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里: 3 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i  ...

正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里: 3 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i < j < k
试证:a18=3152 只有 1 个解 。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-2-1 19:49:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-2 06:33 编辑
王守恩 发表于 2021-1-22 16:29
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里: 3 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i  ...


正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里: 3 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i < j < k
试证:a4=4, a6=12, a8=30, a10=80, a12=208,... 只有 1 个解 。
a04=004=02*02=003+01^2=005-1^1=008-02^2
a06=012=03*04=008+02^2=013-1^1=021-03^2
a08=030=05*06=021+03^2=034-2^2=055-05^2
a10=080=08*10=055+05^2=089-3^2=144-08^2
a12=208=13*16=144+08^2=233-5^2=377-13^2
a14=546=21*26=377+13^2=610-8^2=987-21^2
............
在茫茫数海中,就是有这样一串数,只有 1 个解 ,不多也不少,永远不会被吞没。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-2-2 12:24:09 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-2-1 19:49
正整数数列: a1, a2, a3, …, an。
其中 a1=1, a2=2, a3=3,  ak=ai+aj
在这里: 3 ≤ k ≤ n, 1 ≤  ...


通项公式。
\(\D a(n)=\frac{(1+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})^n+(1-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})^n-\cos(n\pi)2^{n+1}}{5×2^n}\)
  {4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-2-2 15:43:08 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-2-2 12:24
通项公式。
\(\D a(n)=\frac{(1+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})^n+(1-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})^n-\cos(n\pi)2^{n ...


通项公式。

\(\D a(n)=\sum_{k=1}^n\frac{\big((1+\sqrt{5})^k-(1-\sqrt{5})^k\big)^2}{5*2^{2k-1}}\)

  {4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-2-3 17:19:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-3 17:23 编辑
王守恩 发表于 2021-2-2 15:43
通项公式。

\(\D a(n)=\sum_{k=1}^n\frac{\big((1+\sqrt{5})^k-(1-\sqrt{5})^k\big)^2}{5*2^{2k-1}} ...


{4, 12, 30, 80, 208, 546, 1428, 3740, 9790, 25632, 67104, 175682, 459940,
1204140, 3152478, 8253296, 21607408, 56568930, 148099380, 387729212}
004=1,2,3,4
012=1,2,3,5,7,12
030=1,2,3,5,8,11,19,30
080=1,2,3,5,8,13,18,31,49,80
208=1,2,3,5,8,13,21,29,50,79,129,208
546=1,2,3,5,8,13,21,34,47,81,128,209,337,546
答案是唯一的!只有一条路!?为什么???
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