求和谐数的比例

lsr314

如果一个正整数，其中有两个不同的因子的和恰好等于另一个因子，就称这个正整数为和谐数。
求不超过$n$的和谐数的个数$m$的估计，以及$A=lim_{n->+∞}m/n$的极限。
显然若$A$存在则$A>1/6$，因为$6、20$都是和谐数,以及和谐数的倍数一定是和谐数。
利用本原和谐数（任何真因子都不是和谐数的和谐数）数值计算表明$A>0.27$.

mathe

任意n(n+1)的倍数都是河蟹数

lsr314

mathe 发表于 2021-1-4 19:46
任意n(n+1)的倍数都是河蟹数

对的，而且和谐数一定是偶数。
$2pq$一定是本原和谐数,其中$p,q$是一对大于$3$的孪生素数。

mathe

数字计算>0.27是怎么计算的？我是用了 http://oeis.org/A323640 前26项，采用容斥原理，计算出来结果只有
0.26296129193508106538973459902800781355，离0.27还有差距，
增加到48项也直到0.265654

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mathe 发表于 2021-1-8 08:01
数字计算>0.27是怎么计算的？我是用了 http://oeis.org/A323640 前26项，采用容斥原理，计算出来结果只有
...

我是用了这里的前11106项 http://oeis.org/A323640/b323640.txt

lsr314

记第$n$个本原数为$p_n,S(n)=1-\prod_{k=1}^n(1-1/(p_n)),A'=lim_{n->∞}S(n)$,从图像上看，$S(n)+2/n$是递减的，所以$0.271577=S(11106)<A'<S(11106)+2/11106=0.271759$

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发现上面的A'和A是不一样的，因为$p_n$都是偶数，彼此之间还可能有其他公因子。所以$A>0.27$也不成立。实际应该是$0.23$到$0.24$之间。

mathe

S(n)的计算方法是有些问题的。我是用容斥原理，计算量比较大，现在只能算到48项（抛弃了太多因子的情况），已经到0.265654。所以应该是超过0.24的，但是看来会小于0.27

mathe

前面弄错了，30个数才到0.228800,40个数到0.229411,50个数到0.229762,60个数到0.230061

lsr314

定义$r(n)$为因子对$(a,b)$的个数，其中$a<b$,且$a,b,a+b$都是$n$的因子。
比如$r(30)=4$,因子对有$(1,2)(1,5)(2,3)(5,10)$.
是否对于所有的本原数$n$，都有$r(n)=1$?
有反例了：n=249730.