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[提问] 求和谐数的比例

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发表于 2021-1-4 18:34:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如果一个正整数,其中有两个不同的因子的和恰好等于另一个因子,就称这个正整数为和谐数
求不超过$n$的和谐数的个数$m$的估计,以及$A=lim_{n->+∞}m/n$的极限。
显然若$A$存在则$A>1/6$,因为$6、20$都是和谐数,以及和谐数的倍数一定是和谐数。
利用本原和谐数(任何真因子都不是和谐数的和谐数)数值计算表明$A>0.27$.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-4 19:46:18 来自手机 | 显示全部楼层
任意n(n+1)的倍数都是河蟹数
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 楼主| 发表于 2021-1-4 21:17:55 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-1-4 19:46
任意n(n+1)的倍数都是河蟹数

对的,而且和谐数一定是偶数。
$2pq$一定是本原和谐数,其中$p,q$是一对大于$3$的孪生素数。
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发表于 2021-1-8 08:01:54 | 显示全部楼层
数字计算>0.27是怎么计算的?我是用了 http://oeis.org/A323640 前26项,采用容斥原理,计算出来结果只有
0.26296129193508106538973459902800781355,离0.27还有差距,
增加到48项也直到0.265654
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 楼主| 发表于 2021-1-8 10:38:38 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-1-8 08:01
数字计算>0.27是怎么计算的?我是用了 http://oeis.org/A323640 前26项,采用容斥原理,计算出来结果只有
...

我是用了这里的前11106项 http://oeis.org/A323640/b323640.txt
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 楼主| 发表于 2021-1-8 12:10:40 | 显示全部楼层
记第$n$个本原数为$p_n,S(n)=1-\prod_{k=1}^n(1-1/(p_n)),A'=lim_{n->∞}S(n)$,从图像上看,$S(n)+2/n$是递减的,所以$0.271577=S(11106)<A'<S(11106)+2/11106=0.271759$
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 楼主| 发表于 2021-1-8 14:04:03 | 显示全部楼层
发现上面的A'和A是不一样的,因为$p_n$都是偶数,彼此之间还可能有其他公因子。所以$A>0.27$也不成立。实际应该是$0.23$到$0.24$之间。

点评

这有点象概率求素数的个数,前 i 个素数的 (1-1/pi) 的乘积是否就是素数的概率,或者至少是它的上界,这个问题据说远不是想当然。 筛法似乎是不断的减,你这个似乎是不断的加。  发表于 2021-1-9 09:29
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发表于 2021-1-8 17:20:20 | 显示全部楼层
S(n)的计算方法是有些问题的。我是用容斥原理,计算量比较大,现在只能算到48项(抛弃了太多因子的情况),已经到0.265654。所以应该是超过0.24的,但是看来会小于0.27
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发表于 2021-1-8 17:32:38 | 显示全部楼层
前面弄错了,30个数才到0.228800,40个数到0.229411,50个数到0.229762,60个数到0.230061
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 楼主| 发表于 2021-1-8 19:56:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2021-1-9 00:36 编辑

定义$r(n)$为因子对$(a,b)$的个数,其中$a<b$,且$a,b,a+b$都是$n$的因子。
比如$r(30)=4$,因子对有$(1,2)(1,5)(2,3)(5,10)$.
是否对于所有的本原数$n$,都有$r(n)=1$?
有反例了:n=249730.
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