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# [原创] 一元四次方程的公式解

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x

$$u=1728 b^2 e - 576 b c d + 128 c^3 - 4608 c e + 1728 d^2;$$
$$v = 48 b d - 16 c^2 - 192 e;$$
$$p =\sqrt[3]{\sqrt{u^2 + 4 v^3}+u} ;$$
$$q =\sqrt{\frac{6pb^2+\sqrt[3]{4}p^2-16cp-2\sqrt[3]{2}v}{p}};$$
$$A=\sqrt{\frac{1}{6}(6b^2-16c-\frac{2\sqrt[3]{2}v}{p}+\sqrt[3]{4}p)};$$
$$m1=24\sqrt{6}pb^2+8\sqrt[6]{2}\sqrt{3}p^2-64\sqrt{6}cp-8\sqrt[6]{32}\sqrt{3}v ;$$
$$m2=24pqb ;$$
$$n1=2\sqrt[6]{2}\sqrt{3}bp^2+8\sqrt{6}bcp-48\sqrt{6}dp-2\sqrt[6]{32}\sqrt{3}bv ;$$
$$n2=2\sqrt[3]{4}qb^2+8cpq-2\sqrt[3]{2}qv;$$

$$x1=\frac{-(m1+m2)+\sqrt{(m1+m2)^2-192pq(n1+n2)}}{96pq};$$
$$x2=\frac{-(m1+m2)-\sqrt{(m1+m2)^2-192pq(n1+n2)}}{96pq};$$
$$x3=\frac{(m1-m2)+\sqrt{(m1-m2)^2-192pq(-n1+n2)}}{96pq};$$
$$x4=\frac{(m1-m2)-\sqrt{(m1-m2)^2-192pq(-n1+n2)}}{96pq};$$

楼主| 发表于 2021-1-6 20:13:08 | 显示全部楼层
 本帖最后由 TSC999 于 2021-1-7 07:01 编辑 (* 一元四次方程 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 的公式解 *) Clear["Global`*"]; b = 11; c = 46; d = 96; e = 120;(* 结果正确，两对虚 *) b = 11; c = -46; d = 9.6; e = 120;  (* 结果正确，二实二虚 *) b = -11; c = -4.6; d = 0.9766; e = -23;  (* 结果正确，二实二虚 *) b = -1.231; c = -14.6; d = 20.9766; e = -2.7563;  (* 结果正确，四个实根 *) b = 11; c = 46; d = 96; e = 10;(* 结果正确，两实两虚 *) b = -1.1; c = 4.6; d = 96; e = 10;(* 结果正确，两实两虚 *) b = -1.1; c = 1 - I 4.6; d = Sqrt[9.6]; e = 10;(* 结果正确，两对虚 *) b = -1.1 I; c = 1 - I 4.6; d = Sqrt[9.6] + 2 I; e = 1;(* 结果正确，两对虚 *) b = 5 + 1.1 I; c = Sqrt[3] - I 4.6; d = Sqrt[9.6] + 2 I; e = 1 - I Sqrt[7.1];(* 结果正确，两对虚 *) u = 1728 b^2 e - 576 b c d + 128 c^3 - 4608 c e + 1728 d^2;    v = 48 b d - 16 c^2 - 192 e; p = Power[Sqrt[u^2 + 4 v^3] + u, (3)^-1];  q = Sqrt[( 6 p b^2 + Power[4, (3)^-1] p^2 - 16 c p - 2 Power[2, (3)^-1] v)/p];   A = Sqrt[1/    6 (6 b^2 - 16 c - (2 Power[2, (3)^-1] v)/p + Power[4, (3)^-1] p)];   m1 = 24 Sqrt[6] p b^2 + 8 Power[2, (6)^-1] Sqrt[3] p^2 -   64 Sqrt[6] c p - 8 Power[32, (6)^-1] Sqrt[3] v;  m2 = 24 p q b; n1 = 2 Power[2, (6)^-1] Sqrt[3] b p^2 + 8 Sqrt[6] b c p -   48 Sqrt[6] d p - 2 Power[32, (6)^-1] Sqrt[3] b v;  n2 = Power[4, (3)^-1] q p^2 + 8 c q p - 2 Power[2, (3)^-1] v q; x1 = (-(m1 + m2) + Sqrt[(m1 + m2)^2 - 192 p q (n1 + n2)])/( 96 p q); x2 = (-(m1 + m2) - Sqrt[(m1 + m2)^2 - 192 p q (n1 + n2)])/( 96 p q); x3 = ((m1 - m2) + Sqrt[(m1 - m2)^2 - 192 p q (-n1 + n2)])/( 96 p q); x4 = ((m1 - m2) - Sqrt[(m1 - m2)^2 - 192 p q (-n1 + n2)])/( 96 p q); Print["x1 = ", N[x1], "，  x2 = ", N[x2], "，  x3 = ", N[x3],   "，  x4 = ", N[x4]]; NSolve[x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e == 0, x] 复制代码 程序的最后用 NSolve[x^4 +b x^3 +c x^2 + d x + e == 0, x] 求数字解，目的是与上述公式解进行对照，两者应当相同，不然就是程序中有错了。

 何苦何必呢？找本数学手册，上面就有公式

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GMT+8, 2021-1-28 04:18 , Processed in 0.059708 second(s), 20 queries .