数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 227|回复: 4

[原创] 一元四次方程的公式解

[复制链接]
发表于 2021-1-6 19:47:44 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
本帖最后由 TSC999 于 2021-1-7 07:02 编辑

对于实数系数或复数系数的一元四次方程 \(x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0   \) 有以下公式解(证明过程暂时略去,先请大家看看有没有错误)。令:

\( u=1728 b^2 e - 576 b c d + 128 c^3 - 4608 c e + 1728 d^2; \)
\(    v =  48 b d - 16 c^2 - 192 e;     \)
\(  p =\sqrt[3]{\sqrt{u^2 + 4 v^3}+u} ; \)
\( q =\sqrt{\frac{6pb^2+\sqrt[3]{4}p^2-16cp-2\sqrt[3]{2}v}{p}};  \)
\(A=\sqrt{\frac{1}{6}(6b^2-16c-\frac{2\sqrt[3]{2}v}{p}+\sqrt[3]{4}p)};  \)
\(m1=24\sqrt{6}pb^2+8\sqrt[6]{2}\sqrt{3}p^2-64\sqrt{6}cp-8\sqrt[6]{32}\sqrt{3}v ;\)
\(m2=24pqb ;\)
\(n1=2\sqrt[6]{2}\sqrt{3}bp^2+8\sqrt{6}bcp-48\sqrt{6}dp-2\sqrt[6]{32}\sqrt{3}bv ;\)     
\(n2=2\sqrt[3]{4}qb^2+8cpq-2\sqrt[3]{2}qv; \)   
  
原方程的四个根为:

\(x1=\frac{-(m1+m2)+\sqrt{(m1+m2)^2-192pq(n1+n2)}}{96pq}; \)
\(x2=\frac{-(m1+m2)-\sqrt{(m1+m2)^2-192pq(n1+n2)}}{96pq}; \)
\(x3=\frac{(m1-m2)+\sqrt{(m1-m2)^2-192pq(-n1+n2)}}{96pq}; \)
\(x4=\frac{(m1-m2)-\sqrt{(m1-m2)^2-192pq(-n1+n2)}}{96pq}; \)



                     
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-6 20:13:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-1-7 07:01 编辑
  1. (* 一元四次方程 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 的公式解 *)
  2. Clear["Global`*"];
  3. b = 11; c = 46; d = 96; e = 120;(* 结果正确,两对虚 *)
  4. b = 11; c = -46; d = 9.6; e = 120;  (* 结果正确,二实二虚 *)
  5. b = -11; c = -4.6; d = 0.9766; e = -23;  (* 结果正确,二实二虚 *)
  6. b = -1.231; c = -14.6; d = 20.9766; e = -2.7563;  (* 结果正确,四个实根 *)
  7. b = 11; c = 46; d = 96; e = 10;(* 结果正确,两实两虚 *)
  8. b = -1.1; c = 4.6; d = 96; e = 10;(* 结果正确,两实两虚 *)
  9. b = -1.1; c = 1 - I 4.6; d = Sqrt[9.6]; e = 10;(* 结果正确,两对虚 *)
  10. b = -1.1 I; c = 1 - I 4.6; d = Sqrt[9.6] + 2 I; e = 1;(* 结果正确,两对虚 *)
  11. b = 5 + 1.1 I; c = Sqrt[3] - I 4.6; d = Sqrt[9.6] + 2 I; e =
  12. 1 - I Sqrt[7.1];(* 结果正确,两对虚 *)

  13. u = 1728 b^2 e - 576 b c d + 128 c^3 - 4608 c e + 1728 d^2;    v =
  14. 48 b d - 16 c^2 - 192 e;
  15. p = Power[Sqrt[u^2 + 4 v^3] + u, (3)^-1];  q = Sqrt[(
  16. 6 p b^2 + Power[4, (3)^-1] p^2 - 16 c p - 2 Power[2, (3)^-1] v)/p];  
  17. A = Sqrt[1/
  18.    6 (6 b^2 - 16 c - (2 Power[2, (3)^-1] v)/p + Power[4, (3)^-1] p)];  
  19. m1 = 24 Sqrt[6] p b^2 + 8 Power[2, (6)^-1] Sqrt[3] p^2 -
  20.   64 Sqrt[6] c p - 8 Power[32, (6)^-1] Sqrt[3] v;  m2 = 24 p q b;
  21. n1 = 2 Power[2, (6)^-1] Sqrt[3] b p^2 + 8 Sqrt[6] b c p -
  22.   48 Sqrt[6] d p - 2 Power[32, (6)^-1] Sqrt[3] b v;  n2 =
  23. Power[4, (3)^-1] q p^2 + 8 c q p - 2 Power[2, (3)^-1] v q;
  24. x1 = (-(m1 + m2) + Sqrt[(m1 + m2)^2 - 192 p q (n1 + n2)])/(
  25. 96 p q); x2 = (-(m1 + m2) - Sqrt[(m1 + m2)^2 - 192 p q (n1 + n2)])/(
  26. 96 p q);
  27. x3 = ((m1 - m2) + Sqrt[(m1 - m2)^2 - 192 p q (-n1 + n2)])/(
  28. 96 p q); x4 = ((m1 - m2) - Sqrt[(m1 - m2)^2 - 192 p q (-n1 + n2)])/(
  29. 96 p q);
  30. Print["x1 = ", N[x1], ",  x2 = ", N[x2], ",  x3 = ", N[x3],
  31.   ",  x4 = ", N[x4]];
  32. NSolve[x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e == 0, x]
复制代码


程序的最后用 NSolve[x^4 +b x^3 +c x^2 + d x + e == 0, x] 求数字解,目的是与上述公式解进行对照,两者应当相同,不然就是程序中有错了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-7 09:22:51 | 显示全部楼层
何苦何必呢?找本数学手册,上面就有公式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-10 21:26:40 | 显示全部楼层
1289150.png

点评

很好,经多次验证上述公式正确,同样也适用于实系数和复系数。  发表于 2021-1-12 10:28
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-1-28 04:18 , Processed in 0.059708 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表