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[求助] 已知 x (x^2 - 3 y^2) = √421, y (y^2 - 3 x^2) = 40,求 x^2+y^2

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发表于 2021-1-10 20:05:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
已知
\(\begin{align} x(x^2 - 3y^2) &= \sqrt{ 421}\\y(y^2 - 3x^2) &= 40 \end{align}\)
求 \( x^2+y^2 \)。

不知是否有那种软件,不仅能给出公式解,还能进行化简。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-11 07:21:48 | 显示全部楼层
⑴-i⑵得\[(x+iy)^3=\sqrt{421}-40i\tag{3}\]
取模可得\[x^2+y^2=\sqrt[3]{2021}\]原来是一个2021年份题。
知道答案就好做了,直接`\D ⑴^2+⑵^2`得\[(x^2+y^2)^3=2021\tag{4}\]

点评

高手~~~~,我对您的膜拜无以复加!  发表于 2021-1-11 07:36
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-11 08:45:18 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2021-1-11 07:21
⑴-i⑵得\[(x+iy)^3=\sqrt{421}-40i\]
取模可得\[x^2+y^2=\sqrt[3]{2021}\]原来是一个2021年份题。
知道 ...

漏解了!
不过漏解很正常!
因为你没软件计算!

  1. Clear["Global`*"];
  2. out=Solve[{x*(x^2-3*y^2)==Sqrt[421],y*(y^2-3*x^2)==40,x^2+y^2==u},{x,y,u}];
  3. aa=FullSimplify[u/.out]
  4. bb=Union[aa]
  5. cc=N@bb
复制代码

运行结果如下:
\[\left\{\sqrt[3]{2021},\text{Root}\left[\text{$\#$1}^3-2021\&,3\right],-\sqrt[3]{-2021},\text{Root}\left[\text{$\#$1}^3-2021\&,3\right],\sqrt[3]{2021},-\sqrt[3]{-2021},\text{Root}\left[\text{$\#$1}^3-2021\&,3\right],\sqrt[3]{2021},-\sqrt[3]{-2021}\right\}\]
\[\left\{-\sqrt[3]{-2021},\sqrt[3]{2021},\text{Root}\left[\text{$\#$1}^3-2021\&,3\right]\right\}\]
\[\{-6.32158-10.9493 i,12.6432,-6.32158+10.9493 i\}\]

点评

太帅了!  发表于 2021-1-11 08:56
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-11 20:51:40 | 显示全部楼层
  1. NSolve[{x*(x^2 - 3*y^2) == Sqrt[421], y*(y^2 - 3*x^2) == 40,
  2.   x^2 + y^2 == u}, {u, x, y}, Reals]
复制代码

运行结果如下:
{{u->12.6431, x->-2.76128, y->-2.24019},{u->12.6431, x->-0.55942, y->3.51143},{u->12.6431, x->3.32070, y->-1.27124}}
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发表于 2021-1-12 10:03:08 | 显示全部楼层
TSC999 发表于 2021-1-11 20:51
运行结果如下:
{{u->12.6431, x->-2.76128, y->-2.24019},{u->12.6431, x->-0.55942, y->3.51143},{u-> ...


啥时候假设x y是实数了?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-1-12 13:46:05 | 显示全部楼层
TSC999 发表于 2021-1-11 20:51
运行结果如下:
{{u->12.6431, x->-2.76128, y->-2.24019},{u->12.6431, x->-0.55942, y->3.51143},{u-> ...
  1. Clear["Global`*"];
  2. out=Grid@NSolve[{x*(x^2-3*y^2)==Sqrt[421],y*(y^2-3*x^2)==40,x^2+y^2==u},{x,y,u}]
复制代码


\[\begin{array}{ccc}
x\to 1.38064\, -2.39134 i & y\to 1.1201\, -1.94006 i & u\to -6.32158-10.9493 i \\
x\to 1.38064\, +2.39134 i & y\to 1.1201\, +1.94006 i & u\to -6.32158+10.9493 i \\
x\to -2.76128 & y\to -2.24019 & u\to 12.6432 \\
x\to 3.32071 & y\to -1.27125 & u\to 12.6432 \\
x\to -1.66035-2.87582 i & y\to 0.635623\, +1.10093 i & u\to -6.32158+10.9493 i \\
x\to -1.66035+2.87582 i & y\to 0.635623\, -1.10093 i & u\to -6.32158-10.9493 i \\
x\to 0.279711\, +0.484474 i & y\to -1.75572-3.041 i & u\to -6.32158+10.9493 i \\
x\to 0.279711\, -0.484474 i & y\to -1.75572+3.041 i & u\to -6.32158-10.9493 i \\
x\to -0.559422 & y\to 3.51144 & u\to 12.6432 \\
\end{array}\]
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