已知，两弦交于P，∠APC=60°，AC=4，BD=3，求圆的半径。

mathematica

已知，两弦交于P，∠APC=60°，AC=4，BD=3，求圆的半径。

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*利用正弦定理与两个角度相加等于60°列方程组求解出两个角，∠ABC=x，∠BCD=y*)
   
3. aa=FullSimplify@Solve[4/Sin[x]==3/Sin[y]&&0<y<x<Pi/3&&x+y==Pi/3,{x,y}]
   
4. (*正弦定理求解圆的直径*)
   
5. bb=FullSimplify[4/Sin[x]/.aa]
   

复制代码

\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(\pi +6 \tan ^{-1}\left(\frac{11-2 \sqrt{37}}{3 \sqrt{3}}\right)\right),y\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{37}-11}{3 \sqrt{3}}\right)\right\}\right\}\]

20210114_104941再化简得到角度
\[\left(
\begin{array}{cc}
\tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{5}\right) & \tan ^{-1}\left(\frac{3 \sqrt{3}}{11}\right) \\
\end{array}
\right)\]
用反正弦
\[\left(
\begin{array}{cc}
\sin ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{3}{37}}\right) & \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sqrt{\frac{3}{37}}}{2}\right) \\
\end{array}
\right)\]

求解出圆的直径
\[\left\{2 \sqrt{\frac{37}{3}}\right\}\]

补充内容 (2021-1-15 13:13):
∠ABC=x，∠BCD=y
由正弦定理知：
4/Sin[x]==3/Sin[y]
x+y=60
则
3sin(x)=4sin(60-x)=4(sin60cosx-cos60sinx)
=>tanx的值=>sin[x]的值=>4/sin(x)=圆直径

mathematica

mathematica 发表于 2021-1-13 12:13
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(\pi +6 \tan ^{-1}\left(\frac{11-2 \sqrt{37}}{3 \sqrt{3}}\ ...

我这个是属于脱离了mathematica就干不出来的方法，谁有简单的办法

aimisiyou

这是啥原理？可转化为两正三角形求解。

mathematica

aimisiyou 发表于 2021-1-13 14:44
这是啥原理？可转化为两正三角形求解。

按照你的思路，我解方程，求解结果如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*两个正三角形平行时,用圆半径与勾股定理来表达上下底的距离,然后解方程*)
   
3. Solve[Sqrt[r^2-15^2]+Sqrt[r^2-20^2]==Sqrt[(30+40)^2-35^2],{r}]
   

复制代码

方程求解结果如下：
\[\left\{\left\{r\to -10 \sqrt{\frac{37}{3}}\right\},\left\{r\to 10 \sqrt{\frac{37}{3}}\right\}\right\}\]

我看到别人用了不解方程的解法，也求解到了精确的直径，而不是用CAD来测量得到数值解！

mathematica

aimisiyou 发表于 2021-1-13 14:44
这是啥原理？可转化为两正三角形求解。

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*假设AC=E,BD=Pi,然后求解半径的解析公式*)
   
3. FullSimplify@Solve[Sqrt[r^2-(E/2)^2]+Sqrt[r^2-(Pi/2)^2]==Sqrt[(E+Pi)^2-((E+Pi)/2)^2],{r}]
   

复制代码

\[\left\{\left\{r\to -\sqrt{\frac{1}{3} \left(e^2+e \pi +\pi ^2\right)}\right\},\left\{r\to \sqrt{\frac{1}{3} \left(e^2+e \pi +\pi ^2\right)}\right\}\right\}\]

hujunhua

如图，P为虚线弧上的动点，BD为动弧，定长弦AC所对的角 α 为定值，所以 β=60°-α 为定值，则BD为定长，与位置无关。
故可取 BC（或者AD）为直径的位置进行计算，这时∠A=∠D=90°。
`PB=2\sqrt3,AP=4/\sqrt3,AB=AP+PB=10/\sqrt3, BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{16+\frac{100}{3}}=\frac23\sqrt{111}`

王守恩

记 3=n，4=m，则 \(\D R=\sqrt{\frac{n^2+m^2+nm}{3}}\)

mathematica

王守恩 发表于 2021-1-15 08:59
记 3=n，4=m，则 \(\D R=\sqrt{\frac{n^2+m^2+nm}{3}}\)

我在六楼给出了公式呀

mathematica

hujunhua 发表于 2021-1-14 08:33
如图，P为虚线弧上的动点，BD为动弧，定长弦AC所对的角 α 为定值，所以 β=60°-α 为定值，则BD为定长， ...

CE平行于AB，交圆于E点，
容易得知ACEB是等腰梯形，
所以∠3=∠4，
而易知∠1=∠2（同一段圆弧对应的圆周角相等）
所以∠1+∠3=∠2+∠4=180°-60°=120°=∠DBE
BD=3
BE=AC=4，
利用余弦定理，得知$DE=\sqrt{37}$,
再利用正弦定理，圆直径$={DE}/{sin∠DBE}=\sqrt{37}/{sin120°}$