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[转载] 已知,两弦交于P,∠APC=60°,AC=4,BD=3,求圆的半径。

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发表于 2021-1-13 12:02:07 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知,两弦交于P,∠APC=60°,AC=4,BD=3,求圆的半径。

QQ截图20210113115937.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-13 12:13:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2021-1-14 10:50 编辑
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*利用正弦定理与两个角度相加等于60°列方程组求解出两个角,∠ABC=x,∠BCD=y*)
  3. aa=FullSimplify@Solve[4/Sin[x]==3/Sin[y]&&0<y<x<Pi/3&&x+y==Pi/3,{x,y}]
  4. (*正弦定理求解圆的直径*)
  5. bb=FullSimplify[4/Sin[x]/.aa]
复制代码


\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(\pi +6 \tan ^{-1}\left(\frac{11-2 \sqrt{37}}{3 \sqrt{3}}\right)\right),y\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{37}-11}{3 \sqrt{3}}\right)\right\}\right\}\]

20210114_104941再化简得到角度
\[\left(
\begin{array}{cc}
\tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{5}\right) & \tan ^{-1}\left(\frac{3 \sqrt{3}}{11}\right) \\
\end{array}
\right)\]
用反正弦
\[\left(
\begin{array}{cc}
\sin ^{-1}\left(2 \sqrt{\frac{3}{37}}\right) & \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sqrt{\frac{3}{37}}}{2}\right) \\
\end{array}
\right)\]

求解出圆的直径
\[\left\{2 \sqrt{\frac{37}{3}}\right\}\]

补充内容 (2021-1-15 13:13):
∠ABC=x,∠BCD=y
由正弦定理知:
4/Sin[x]==3/Sin[y]
x+y=60

3sin(x)=4sin(60-x)=4(sin60cosx-cos60sinx)
=>tanx的值=>sin[x]的值=>4/sin(x)=圆直径

点评

@TSC999 这两个变量的方程组,完全可以手算。我试过了,我以前太依赖于mathematica就没手算,感觉软件内部的程序,完全把计算复杂化了,人肉算比这简单多了!  发表于 2021-1-15 13:04
这个方法最简单合理。缺点是手工计算有点难。所以人机合作很有必要。  发表于 2021-1-14 09:14
这个办法最复杂了,但是也最容易列等式!  发表于 2021-1-13 16:02
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 楼主| 发表于 2021-1-13 12:14:56 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-1-13 12:13
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(\pi +6 \tan ^{-1}\left(\frac{11-2 \sqrt{37}}{3 \sqrt{3}}\ ...

我这个是属于脱离了mathematica就干不出来的方法,谁有简单的办法
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发表于 2021-1-13 14:44:50 | 显示全部楼层
这是啥原理?可转化为两正三角形求解。
30d8c4a384306807.png

点评

反过来(等角对等弦)就一时蒙圈了。  发表于 2021-1-14 10:36
等弦对等角  发表于 2021-1-14 00:29
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 楼主| 发表于 2021-1-13 15:39:56 | 显示全部楼层
aimisiyou 发表于 2021-1-13 14:44
这是啥原理?可转化为两正三角形求解。


按照你的思路,我解方程,求解结果如下:
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*两个正三角形平行时,用圆半径与勾股定理来表达上下底的距离,然后解方程*)
  3. Solve[Sqrt[r^2-15^2]+Sqrt[r^2-20^2]==Sqrt[(30+40)^2-35^2],{r}]
复制代码


方程求解结果如下:
\[\left\{\left\{r\to -10 \sqrt{\frac{37}{3}}\right\},\left\{r\to 10 \sqrt{\frac{37}{3}}\right\}\right\}\]

我看到别人用了不解方程的解法,也求解到了精确的直径,而不是用CAD来测量得到数值解!
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 楼主| 发表于 2021-1-13 15:52:11 | 显示全部楼层
aimisiyou 发表于 2021-1-13 14:44
这是啥原理?可转化为两正三角形求解。
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*假设AC=E,BD=Pi,然后求解半径的解析公式*)
  3. FullSimplify@Solve[Sqrt[r^2-(E/2)^2]+Sqrt[r^2-(Pi/2)^2]==Sqrt[(E+Pi)^2-((E+Pi)/2)^2],{r}]
复制代码


\[\left\{\left\{r\to -\sqrt{\frac{1}{3} \left(e^2+e \pi +\pi ^2\right)}\right\},\left\{r\to \sqrt{\frac{1}{3} \left(e^2+e \pi +\pi ^2\right)}\right\}\right\}\]
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发表于 2021-1-14 08:33:47 | 显示全部楼层

如图,P为虚线弧上的动点,BD为动弧,定长弦AC所对的角 α 为定值,所以 β=60°-α 为定值,则BD为定长,与位置无关。
故可取 BC(或者AD)为直径的位置进行计算,这时∠A=∠D=90°。
`PB=2\sqrt3,AP=4/\sqrt3,AB=AP+PB=10/\sqrt3, BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{16+\frac{100}{3}}=\frac23\sqrt{111}`
圆内两等弦的交点轨迹.PNG

点评

你的办法也不错  发表于 2021-1-14 09:00
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发表于 2021-1-15 08:59:55 | 显示全部楼层
记 3=n,4=m,则 \(\D R=\sqrt{\frac{n^2+m^2+nm}{3}}\)
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 楼主| 发表于 2021-1-15 09:01:11 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-1-15 08:59
记 3=n,4=m,则 \(\D R=\sqrt{\frac{n^2+m^2+nm}{3}}\)

我在六楼给出了公式呀

点评

对不起,我没仔细看。把 60° 改一下,也可以?  发表于 2021-1-15 09:42
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 楼主| 发表于 2021-1-15 12:48:06 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2021-1-14 08:33
如图,P为虚线弧上的动点,BD为动弧,定长弦AC所对的角 α 为定值,所以 β=60°-α 为定值,则BD为定长, ...


CE平行于AB,交圆于E点,
容易得知ACEB是等腰梯形,
所以∠3=∠4,
而易知∠1=∠2(同一段圆弧对应的圆周角相等)
所以∠1+∠3=∠2+∠4=180°-60°=120°=∠DBE
BD=3
BE=AC=4,
利用余弦定理,得知$DE=\sqrt{37}$,
再利用正弦定理,圆直径$={DE}/{sin∠DBE}=\sqrt{37}/{sin120°}$
QQ截图20210115124054.jpg

点评

好。有弦夹角公式 (劣弧AC+劣弧BD)/2=π/3,得(劣弧EB+劣弧BD)=2π/3.  发表于 2021-1-15 14:35
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