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[求助] 计算椭圆旋转时笔尖的轨迹

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发表于 2021-1-14 17:26:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知椭圆长轴a短轴b的尺寸,椭圆在旋转时笔尖跟随着椭圆运动,有没有办法求出椭圆旋转时笔尖的轨迹
1610616134(1).jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-15 15:17:09 | 显示全部楼层
  1. X={x,y};
  2. A=RotationMatrix[-t].DiagonalMatrix@{a,b}^(-2).RotationMatrix[t];
  3. Quiet@Eliminate[{X.A.X==1, X.A.{1,0}==0},t]//Simplify
复制代码
输出
`x^2y^2=(a^2-y^2)(y^2-b^2)`
取a=5, b=3 的实例。
椭圆凸轮的顶点轨迹.png
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发表于 2021-1-15 22:24:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2021-1-15 22:26 编辑

根据楼主的图片,发现笔尖也会运动呀,但是
楼主也没有说清楚笔尖相对于椭圆如何运动的呀?

是不是笔尖只能对齐兰青色的线运动呢?
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 楼主| 发表于 2021-1-16 18:28:22 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2021-1-15 22:24
根据楼主的图片,发现笔尖也会运动呀,但是
楼主也没有说清楚笔尖相对于椭圆如何运动的呀?

笔尖其实可以理解为左右往复运动,运动的范围其实等于椭圆的长轴。笔尖具体在什么位置其实取决于椭圆的角度假设椭圆现在的角度时0度(图一),笔尖对应的位置应该在椭圆的中间。当椭圆旋转到90度时笔尖应在椭圆的最高点。
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发表于 2021-1-17 02:59:28 | 显示全部楼层
2#是按椭圆凸轮的最高点来理解的,即椭圆上水平切线的切点。
计算结果不可避免地把最低点(下水平切线的切点)也带进来了。
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 楼主| 发表于 2021-1-17 09:35:00 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2021-1-17 02:59
2#是按椭圆凸轮的最高点来理解的,即椭圆上水平切线的切点。
计算结果不可避免地把最低点(下水平切线的切 ...

对的,回去想了一下无论椭圆在什么角度其实就是求最高点。
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发表于 2021-1-17 12:49:28 | 显示全部楼层
667299.gif
$x^2y^2=\left(a^2-y^2\right)\left(y^2-b^2\right)$
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 楼主| 发表于 2021-1-17 15:58:47 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2021-1-17 12:49
$x^2y^2=\left(a^2-y^2\right)\left(y^2-b^2\right)$

请问动图的轨迹是不是用这条公式算出来的,请教一下如果需要解决类似的问题需要掌握什么知识点
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 楼主| 发表于 2021-1-17 16:11:27 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2021-1-17 12:49
$x^2y^2=\left(a^2-y^2\right)\left(y^2-b^2\right)$

式子中a是长轴、b是短轴,y代表的是什么?

点评

(x,y)是笔尖的坐标啊  发表于 2021-1-18 15:12
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