正切的多倍角公式，有什么规律？或者有什么递推公式？

mathematica

正切的多倍角公式，有什么规律？或者有什么递推公式？
正切的多倍角公式，最大的好处是永远都是正切的函数，
不像正弦函数多倍角之后，是正弦与余弦的函数。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. t=tan;
   
3. tk=tan;
   
4. mylist={{1,tan}};
   
5. Do[tk=Simplify[(tk+t)/(1-tk*t)];mylist=Append[mylist,{k,tk}],{k,2,12}];
   
6. Grid[mylist,Alignment->Left]
   

复制代码

\begin{array}{ll}
1 & \tan \\
2 & -\frac{2 \tan}{-1+\tan^2} \\
3 & \frac{\tan\left(-3+\tan^2\right)}{-1+3 \tan^2} \\
4 & -\frac{(4 \tan\left(-1+\tan^2\right)}{1-6 \tan^2+\tan^4} \\
5 & \frac{\tan\left(5-10 \tan^2+\tan^4\right)}{1-10 \tan^2+5 \tan^4} \\
6 & -\frac{(2 \tan\left(3-10 \tan^2+3 \tan^4\right)}{-1+15 \tan^2-15 \tan^4+\tan^6} \\
7 & \frac{\tan\left(-7+35 \tan^2-21 \tan^4+\tan^6\right)}{-1+21 \tan^2-35 \tan^4+7 \tan^6} \\
8 & -\frac{(8 \tan\left(-1+7 \tan^2-7 \tan^4+\tan^6\right)}{1-28 \tan^2+70 \tan^4-28 \tan^6+\tan^8} \\
9 & \frac{\tan\left(9-84 \tan^2+126 \tan^4-36 \tan^6+\tan^8\right)}{1-36 \tan^2+126 \tan^4-84 \tan^6+9 \tan^8} \\
10 & -\frac{(2 \tan\left(5-60 \tan^2+126 \tan^4-60 \tan^6+5 \tan^8\right)}{-1+45 \tan^2-210 \tan^4+210 \tan^6-45 \tan^8+\tan^{10}} \\
11 & \frac{\tan\left(-11+165 \tan^2-462 \tan^4+330 \tan^6-55 \tan^8+\tan^{10}\right)}{-1+55 \tan^2-330 \tan^4+462 \tan^6-165 \tan^8+11 \tan^{10}} \\
12 & -\frac{(4 \tan\left(-3+55 \tan^2-198 \tan^4+198 \tan^6-55 \tan^8+3 \tan^{10}\right)}{1-66 \tan^2+495 \tan^4-924 \tan^6+495 \tan^8-66 \tan^{10}+\tan^{12}}
\end{array}

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我发现的规律：
1、分子是奇函数，分母是偶函数，
2、如果奇数倍，那么分子比分母高一次，如果是偶数被，那么分子比分母低一次！
除此之外，没发现啥有用的规律！

mathematica

mathematica 发表于 2021-1-20 10:57
我发现的规律：
1、分子是奇函数，分母是偶函数，
2、如果奇数倍，那么分子比分母高一次，如果是偶数被， ...

3、系数都是组合数，且一项是正的，后面项就是负数

uk702

分子分母加起来组成如下二项系数？
            {1,2,1},
            {1,3,3,1},
            {1,4,6,4,1},
            {1,5,10,10,5,1},
            {1,6,15,20,15,6,1},
            {1,7,21,35,35,21,7,1},
            {1,8,28,56,70,56,28,8,1},
            {1,9,36,84,126,126,84,36,9,1},
            {1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1},
            {1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1},
            {1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1},

lsr314

令$t=tan(x)$,则$tan(nx)=\frac{(1+i t)^n-(1-i t)^n}{i \left((1+i t)^n+(1-i t)^n\right)}$

1. n = 3; Factor[((1 + I t)^n - (1 - I t)^ n)/(I ((1 + I t)^n + (1 - I t)^n))]

复制代码

mathematica

lsr314 发表于 2021-1-20 17:09
令$t=tan(x)$,则$tan(nx)=\frac{(1+i t)^n-(1-i t)^n}{i \left((1+i t)^n+(1-i t)^n\right)}$

棣莫弗公式!
我昨天想到了,计算实部,虚部,然后虚部除以实部!