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[求助] 正切的多倍角公式,有什么规律?或者有什么递推公式?

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发表于 2021-1-20 10:50:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

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正切的多倍角公式,有什么规律?或者有什么递推公式?
正切的多倍角公式,最大的好处是永远都是正切的函数,
不像正弦函数多倍角之后,是正弦与余弦的函数。

  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. t=tan;
  3. tk=tan;
  4. mylist={{1,tan}};
  5. Do[tk=Simplify[(tk+t)/(1-tk*t)];mylist=Append[mylist,{k,tk}],{k,2,12}];
  6. Grid[mylist,Alignment->Left]
复制代码

\begin{array}{ll}
1 & \tan \\
2 & -\frac{2 \tan}{-1+\tan^2} \\
3 & \frac{\tan\left(-3+\tan^2\right)}{-1+3 \tan^2} \\
4 & -\frac{(4 \tan\left(-1+\tan^2\right)}{1-6 \tan^2+\tan^4} \\
5 & \frac{\tan\left(5-10 \tan^2+\tan^4\right)}{1-10 \tan^2+5 \tan^4} \\
6 & -\frac{(2 \tan\left(3-10 \tan^2+3 \tan^4\right)}{-1+15 \tan^2-15 \tan^4+\tan^6} \\
7 & \frac{\tan\left(-7+35 \tan^2-21 \tan^4+\tan^6\right)}{-1+21 \tan^2-35 \tan^4+7 \tan^6} \\
8 & -\frac{(8 \tan\left(-1+7 \tan^2-7 \tan^4+\tan^6\right)}{1-28 \tan^2+70 \tan^4-28 \tan^6+\tan^8} \\
9 & \frac{\tan\left(9-84 \tan^2+126 \tan^4-36 \tan^6+\tan^8\right)}{1-36 \tan^2+126 \tan^4-84 \tan^6+9 \tan^8} \\
10 & -\frac{(2 \tan\left(5-60 \tan^2+126 \tan^4-60 \tan^6+5 \tan^8\right)}{-1+45 \tan^2-210 \tan^4+210 \tan^6-45 \tan^8+\tan^{10}} \\
11 & \frac{\tan\left(-11+165 \tan^2-462 \tan^4+330 \tan^6-55 \tan^8+\tan^{10}\right)}{-1+55 \tan^2-330 \tan^4+462 \tan^6-165 \tan^8+11 \tan^{10}} \\
12 & -\frac{(4 \tan\left(-3+55 \tan^2-198 \tan^4+198 \tan^6-55 \tan^8+3 \tan^{10}\right)}{1-66 \tan^2+495 \tan^4-924 \tan^6+495 \tan^8-66 \tan^{10}+\tan^{12}}
\end{array}
QQ截图20210120105224.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-20 10:57:00 | 显示全部楼层
我发现的规律:
1、分子是奇函数,分母是偶函数,
2、如果奇数倍,那么分子比分母高一次,如果是偶数被,那么分子比分母低一次!
除此之外,没发现啥有用的规律!
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 楼主| 发表于 2021-1-20 11:07:16 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-1-20 10:57
我发现的规律:
1、分子是奇函数,分母是偶函数,
2、如果奇数倍,那么分子比分母高一次,如果是偶数被, ...

3、系数都是组合数,且一项是正的,后面项就是负数
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发表于 2021-1-20 11:19:42 | 显示全部楼层
分子分母加起来组成如下二项系数?
            {1,2,1},
            {1,3,3,1},
            {1,4,6,4,1},
            {1,5,10,10,5,1},
            {1,6,15,20,15,6,1},
            {1,7,21,35,35,21,7,1},
            {1,8,28,56,70,56,28,8,1},
            {1,9,36,84,126,126,84,36,9,1},
            {1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1},
            {1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1},
            {1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1},
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-1-20 17:09:27 | 显示全部楼层
令$t=tan(x)$,则$tan(nx)=\frac{(1+i t)^n-(1-i t)^n}{i \left((1+i t)^n+(1-i t)^n\right)}$
  1. n = 3; Factor[((1 + I t)^n - (1 - I t)^ n)/(I ((1 + I t)^n + (1 - I t)^n))]
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 楼主| 发表于 2021-1-21 09:48:41 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2021-1-20 17:09
令$t=tan(x)$,则$tan(nx)=\frac{(1+i t)^n-(1-i t)^n}{i \left((1+i t)^n+(1-i t)^n\right)}$

棣莫弗公式!
我昨天想到了,计算实部,虚部,然后虚部除以实部!
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