等积链问题

lsr314

来看一组等式：
$8*9* 9918=6*29*38*108$
$9*10* 9919=7*30*39*109$
$10*11* 9920=8*31*40*110$
第一个等式两边所有的因子都加1，或者说都变成它的后继，就变成第二个式子，等式依然成立，以此类推。
这组有3个等式，我们称之为`L=3`的等积链（等式组）。
请找出`L`尽可能大的等式组。( 要求每个等式左边的因子不能和右边的因子完全相同,等式两边的因子个数不限，因子都是正整数。）

PS：试找出一个`L≥3`的等式组，满足第二个等式左边的因子两两互素，第二个等式右边的因子也两两互素。（例子中$30$和$39$有公因子$3$）

hujunhua

我有2个理由觉得附加的那些互素条件是多余的：
1、这样的等式组不可多得吧
2、从非互素解不能通过消去因子等手段得到一个衍生解。也就是说，没有本原解的概念。

lsr314

hujunhua 发表于 2021-1-29 11:53
我有2个理由觉得附加的那些互素条件是多余的：
1、这样的等式组不可多得吧
2、从非互素解不能通过消去因 ...

我猜这样的等式组有无穷多组，毕竟因子的个数不限。。附加的问题其实是原始问题，但是没有主问题有趣，所以我把它放在PS里。

.·.·.

ps做不到

首先，只要等式一边不少于4个因子，那么这些因子中必有两个mod 3余数相同
故length个等式中必然有某个等式，使得这两个因子（的后继）有公因子3

于是只剩下有限种选择:
1.a=a
2.a=bc
3.a=bcd
4.ab=cd
5.ab=cde
6.abc=def
1.显然有BUG
2.a+1=(b+1)(c+1)=bc+b+c+1==>b+c=0,length只能为2
3.由前文，bcd构成mod 3的完系，从而a,a+1,a+2必须都是3的倍数，显然不可能
5.同理，ab,(a+1)(b+1),(a+2)(b+2)不可能都是3的倍数
6.
abc=def:=e
abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=def+de+ef+fd+d+e+f+1:=e+q+w+1
abc+2ab+2bc+2ca+4a+4b+4c=def+2de+2ef+2fd+4d+4e+4f+8:=e+2q+4w+8
解得,（a,b,c）和（d,e,f）都是方程$x^3-qx^2+wx-e=0$的根，与题设矛盾
同理可证4.

综上，ps是做不到的。

lsr314

.·.·. 发表于 2021-1-29 17:52
ps做不到

首先，只要等式一边不少于4个因子，那么这些因子中必有两个mod 3余数相同

貌似你对PS里的要求理解有点偏差，PS只要求第二个等式左边两两互素，右边也两两互素，不要求所有的等式都满足这个条件。

northwolves

$(a-1)(b-1)(c-1)=(d-1)(e-1)(f-1)(g-1)$
$abc=defg$
$(a+1)(b+1)(c+1)=(d+1)(e+1)(f+1)(g+1)$

这咋解？没个思路

王守恩

hujunhua 发表于 2021-1-29 11:53
我有2个理由觉得附加的那些互素条件是多余的：
1、这样的等式组不可多得吧
2、从非互素解不能通过消去因 ...

顶！能再来几个(太难了，手工无法)找找感觉(条件宽松一点也行)。
譬如：找一个数(先满足(右)边的要求)，看能不能满足(左)边的要求。