等腰三角形角度问题

anonymous · 发表于 2021-1-29 16:35:11

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已知△ABC中，CA=CB，D是△ABC外一点，满足DA=DC，∠DBC=30°，∠DCA=13°，求∠CAB。
微信截图_20210129162913.png

mathe · 发表于 2021-1-29 17:06:28

做三角形BCD外心O

aimisiyou · 发表于 2021-1-29 22:41:54

正弦定理。(sin30)/sin(x-30)=sin(193-2x)/sin(x+13)

王守恩 · 发表于 2021-1-30 06:01:52

图没画好，AC与BD是互相垂直的。

mathe · 发表于 2021-1-30 07:52:36

OB=OC=OD且角COD=2角CBD=60度，OCD正三角形
所有CO=CD，图左右对称。
角ACB=60度-2*13度=34度。
角ACB=90度-17度=73度

mathematica · 发表于 2021-1-30 09:04:15

mathe 发表于 2021-1-30 07:52
OB=OC=OD且角COD=2角CBD=60度，OCD正三角形
所有CO=CD，图左右对称。
角ACB=60度-2*13度=34度。

为什么我算的是60°？
似乎好像多解，一个是60度，一个是73度

mathe · 发表于 2021-1-30 09:08:54

有道理，应该可以60度，O可以在三角形ABC内部

mathematica · 发表于 2021-1-30 09:38:54

mathe 发表于 2021-1-30 09:08
有道理，应该可以60度，O可以在三角形ABC内部

我用两个正弦定理计算的，算出来是60度，然后看你答案是73度，然后我突然想到互补的正弦值相等，所以又增加了一个解

mathematica · 发表于 2021-1-30 09:43:05

本帖最后由 mathematica 于 2021-1-30 10:05 编辑

假设CAB=x，
在三角形ADC与三角形ACB中使用正弦定理
AD/AC=sin(13)/sin(26)=DC/BC=sin(30)/sin(2x-43)
sin(2x-43)=sin77=sin103
得到x=60或73°

左边的是73度，右边的是60度

mathe · 发表于 2021-1-30 10:14:05

如果去掉D在三角形外部的限制，还有一解

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