不均衡丢番都逼近 abs(ɑp - q - ᵦ) 求解

uk702

请教各位大佬，Mathematica 有没有什么命令，可以求解整数  p 和 q，p 和 q 小于 N， 使得不均衡丢番都逼近 \(F(p,q) = |\alpha p - q - \beta| \) 取最小值 ？
或者求得  \(F(p,q) = |\alpha p - q - \beta| < \delta \)  的所有小于 N 的解，其中 \(\delta \) 为指定值，比如 0.0001。

其它的软件或者提供算法也同样感谢。

uk702

为什么 FindInstance[Abs[Pi - (n - 1/2)/(k - 1/2)] < .001 && {n, k} > 1, {n, k}, Integers] 这个能解出 {{n -> 156, k -> 50}}，而类似如下 3 式却无法求解？

(* 这个可以求解 *)
FindInstance[Abs[Pi - (n - 1/2)/(k - 1/2)] < .001 && {n, k} > 1, {n, k}, Integers]

(* 下面三个无法求解 *)
FindInstance[Abs[Pi - n/k] < .001 && {n, k} > 1, {n, k}, Integers]
FindInstance[Abs[n*Pi - k] < .001 && {n, k} > 1, {n, k}, Integers]
FindInstance[Abs[n*Pi - k - 0.21] < .001 && {n, k} > 1, {n, k}, Integers]