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[讨论] 复数域里的素数分布

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发表于 2021-2-9 22:45:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

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最近突然对素数感兴趣了,但又觉得以我等小生的水平很难在实数域上取得突破,于是尝试在复数域上做点研究,看看能否有新发现。

复数域上的素数定义如下:

如果复数$x+yi$能分解为$(a+bi)(c+di)$的形式,则称$x+yi$为合数,否则称$x+yi$为素数。

其中$x$、$y$、$a$、$b$、$c$、$d$均为整数,且$a+bi$和$c+di$都不能等于$\pm 1$或$\pm i$。

与$1$既不是素数也不是合数类似,我们规定$0$、$\pm 1$和$\pm i$既不是素数,也不是合数。

问形如$x+yi$的素数分布有什么规律?

#####

这是一个完全开放的探索性研究,可以讨论的具体问题包括但不限于:

1. 在半径为$r$的单位圆内的素数个数是多少(和$r$有什么函数关系)?

2. 在半径为$r$的单位圆内的素数密度是多少(和$r$有什么函数关系)?

3. 把“半径为$r$的单位圆”改成“边长为$2r$的正方形”,密度函数会不会发生变化?

4. 根据复数的对称性,最多可以把需要考虑的范围缩小多少倍(把复数域里的素数分成多少个等价类)?

5. 在半径为$r$的单位圆内或边长为$2r$的正方形内任取两个复数,他们互质(公约数只有$\pm 1$和$\pm i$)的概率是多少?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-10 09:12:09 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-2-10 09:19:44 | 显示全部楼层
高斯素数$a+bi$必然满足$q=a^2+b^2 -= 1(mod 4)$.
所以这个问题等价于小于等于$r^2$的4k+1型素数有多少个以及小于等于$r$的4k+3型素数有多少个。
而4k+1型素数数目应该近似等于$\frac{r^2}{2\ln(r^2)}=\frac{r^2}{4\ln(r)}$, 而$4k+3$型的素数约等于$\frac{r}{2\ln(r)}$相对可以忽略。
所以总数约等于$\frac{r^2}{4\ln(r)}$. 需要注意这里的计数把等价的一些高斯素数看成了相同,比如
1+2i, 1-2i,2+i,2-i,-1+2i,-1-2i,-2+i, -2-i都是等价的,只算一个

点评

注意到每个4k+1型素数都对应8个高斯素数,把这里的总数乘以8就可以得到,总数大概是$\frac{2r^2}{4\text{ln} r}$  发表于 2021-2-10 18:55
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发表于 2021-2-10 20:05:33 | 显示全部楼层
不如研究$Q(\sqrt{-c})$上的费马小定理吧
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