复数域里的素数分布

KeyTo9_Fans

最近突然对素数感兴趣了，但又觉得以我等小生的水平很难在实数域上取得突破，于是尝试在复数域上做点研究，看看能否有新发现。

复数域上的素数定义如下：

如果复数$x+yi$能分解为$(a+bi)(c+di)$的形式，则称$x+yi$为合数，否则称$x+yi$为素数。

其中$x$、$y$、$a$、$b$、$c$、$d$均为整数，且$a+bi$和$c+di$都不能等于$\pm 1$或$\pm i$。

与$1$既不是素数也不是合数类似，我们规定$0$、$\pm 1$和$\pm i$既不是素数，也不是合数。

问形如$x+yi$的素数分布有什么规律？

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这是一个完全开放的探索性研究，可以讨论的具体问题包括但不限于：

1. 在半径为$r$的单位圆内的素数个数是多少（和$r$有什么函数关系）？

2. 在半径为$r$的单位圆内的素数密度是多少（和$r$有什么函数关系）？

3. 把“半径为$r$的单位圆”改成“边长为$2r$的正方形”，密度函数会不会发生变化？

4. 根据复数的对称性，最多可以把需要考虑的范围缩小多少倍（把复数域里的素数分成多少个等价类）？

5. 在半径为$r$的单位圆内或边长为$2r$的正方形内任取两个复数，他们互质（公约数只有$\pm 1$和$\pm i$）的概率是多少？

mathe

https://mathworld.wolfram.com/GaussianPrime.html

mathe

高斯素数$a+bi$必然满足$q=a^2+b^2 -= 1(mod 4)$.
所以这个问题等价于小于等于$r^2$的4k+1型素数有多少个以及小于等于$r$的4k+3型素数有多少个。
而4k+1型素数数目应该近似等于$\frac{r^2}{2\ln(r^2)}=\frac{r^2}{4\ln(r)}$, 而$4k+3$型的素数约等于$\frac{r}{2\ln(r)}$相对可以忽略。
所以总数约等于$\frac{r^2}{4\ln(r)}$. 需要注意这里的计数把等价的一些高斯素数看成了相同，比如
1+2i, 1-2i,2+i,2-i,-1+2i,-1-2i,-2+i, -2-i都是等价的，只算一个

无心人

不如研究$Q(\sqrt{-c})$上的费马小定理吧