简单几何题的三种证明方法

dlsh

如图三角形ＡＢＣ中，角Ｃ是直角，Ｄ是ＡＢ中点，Ｅ、Ｆ分别在两直角边上。
求证：角EＤF是直角等价于AF^2+BE^2=DF^2+DE^2.

计算结果与几何意义

证明：假设Rt△ABC在单位圆上，D在原点，AB在实轴上，显然有d=0,a=-1,b=1,欲证明等式等价于\[e+\bar{e}-(f+\bar{f})=2\]显然
\[AC:f-c\bar{f}=c-1\]
\[BC:e+c\bar{e}=c+1\]
因为\(角DFE是直角，所以\frac{e}{\bar{e}}=-\frac{f}{\bar{f}},即f\bar{e}+e\bar{f}=0\)
由以上三个等式得：\(e=\frac{c+1}{c-1}f,\bar{e}=-\frac{c+1}{c-1}\bar{f}\)，所以
\[e+\bar{e}-(f+\bar{f})=\frac{2f-2c\bar{f}}{c-1}=2\]原命题得证。
这一结论的几何意义如图所示。
其它两种证明参考http://mathchina.com/bbs/forum.p ... p;extra=#pid2400420

补充内容 (2021-2-16 22:06):
\(由e=\frac{c+1}{c-1}f，可以得\frac{f}{e}=\frac{c-1}{c+1}几何意义是△DEF与三角形ABC顺相似\)

dlsh

还可以有一种巧算方法。
从主贴中得到：
\begin{align}
AC：f-c\bar{f}=-1+c \tag{1}\\
BC:e+c\bar{e}=1+c \tag{2}\\
e\bar{f}+f\bar{e}=0 \tag{3}
\end{align}
(2)-(1)，(2)×f-(1)×e并比较（3）得
\begin{align}
e-f+c\bar{f}+c\bar{e}=2 \tag{4}\\
cf+f-ce+e==0\tag{5}
\end{align}
上式两端除以c并取共轭得
\[\bar{e}-\bar{f}=c\bar{e}+c\bar{f}\]
带回（4）即可证明。

dlsh

证明五：
      仍然假设Rt△ABC在单位圆上，D在原点，AB在实轴上，显然有d=0,a=-1,b=1,欲证明等式等价于 \(e_x=f_x+1,因为F在CA上，所以f_y=\frac{c_y}{c_y+1}(1+f_x)，由AC垂直BC和DE垂直DF得到\)

\[ BC:y+\frac{c_x+1}{c_y}x=\frac{c_x+1}{c_y}  \] \[DE：y+\frac{f_x}{f_y}x=0 \]解方程得\(e_x=1+f_x\)

证明六：
假设如前,因为AC垂直于BC，所以
\( \frac{1-e}{1-\bar{e}}=-\frac{1+f}{1+\bar{f}},化简后得 e+\bar{e}-\left( f+\bar{f}\right)=2-（e\bar{f}+f\bar{e}),由于DE垂直DF，得e\bar{f}+f\bar{e}=0，命题得证\)
证明七：
假设如前,因为AC垂直于BC，所以
\( \frac{e_y}{e_x-1}=-\frac{1+f_x}{f_y},化简后得 e_x-f_x=1-（ e_xf_x+e_yf_y),由于DE垂直DF，得 e_xf_x+e_yf_y=0，命题得证\)

hujunhua

把图补全，真的很简单了。

1) 垂直 → 平方和相等  
    垂直+D为矩形中心 → 菱形EFGH（→EF=FG），及AE=BG
    DE^2+DF^2=EF^2, AE^2+BF^2=BG^2+BF^2=FG^2
   
2) 平方和相等 → 垂直
    D为矩形中心 → AE=BG，∴ AE^2+BF^2=BG^2+BF^2=FG^2
    D为矩形中心 → 平形四边形EFGH，∴ 2(DE^2+DF^2)=EF^2+FG^2
    故若 DE^2+DF^2=AE^2+BF^2 则 DE^2+DF^2=EF^2 → ∠EDF=90°
   

dlsh

证明八：假设D在原点，a=-1,b=1，直线AC和DF的复斜率为u和v，则有：
\[AC:z-u\bar{z}=-1+u\]\[DF:z-v\bar{z}=0\]
可求得：\(f=\frac{1-u}{u-v}v,\bar{f}=\frac{1-u}{u-v}\)
因为AC和AB、DF和DE垂直，所以
\[AB:z+u\bar{z}=1+u\]\[DF:z+v\bar{z}=0\]可求得：\(e=-\frac{1+u}{u-v}v,\bar{e}=\frac{1+u}{u-v}\)
易于证明结论。
证明九：假设D在原点，a=-1,b=1，直线AC和DF的斜率为u和v，则有：
\[AC:y-ux=-1+u\]\[DF:y-vx=0\]
可求得：\(x_f=\frac{-u}{u-v}\)
因为AC和AB、DF和DE垂直，所以
\[CB:y+\frac{1}{u}x=\frac{1}{u}\]\[DF:y+\frac{1}{v}x=0\]可求得：\(e_x=\frac{-v}{u-v}\)
结论很显然。
以上多种证明方法坐标方法似乎更简单，不过对于许多更难的问题复数的优势很明显。