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[原创] 简单几何题的三种证明方法

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发表于 2021-2-15 22:40:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图三角形ABC中,角C是直角,D是AB中点,E、F分别在两直角边上。
求证:角EDF是直角等价于AF^2+BE^2=DF^2+DE^2.

计算结果与几何意义

计算结果与几何意义

证明:假设Rt△ABC在单位圆上,D在原点,AB在实轴上,显然有d=0,a=-1,b=1,欲证明等式等价于\[e+\bar{e}-(f+\bar{f})=2\]显然
\[AC:f-c\bar{f}=c-1\]
\[BC:e+c\bar{e}=c+1\]
因为\(角DFE是直角,所以\frac{e}{\bar{e}}=-\frac{f}{\bar{f}},即f\bar{e}+e\bar{f}=0\)
由以上三个等式得:\(e=\frac{c+1}{c-1}f,\bar{e}=-\frac{c+1}{c-1}\bar{f}\),所以
\[e+\bar{e}-(f+\bar{f})=\frac{2f-2c\bar{f}}{c-1}=2\]原命题得证。
这一结论的几何意义如图所示。
其它两种证明参考http://mathchina.com/bbs/forum.p ... p;extra=#pid2400420

补充内容 (2021-2-16 22:06):
\(由e=\frac{c+1}{c-1}f,可以得\frac{f}{e}=\frac{c-1}{c+1}几何意义是△DEF与三角形ABC顺相似\)
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 楼主| 发表于 2021-2-16 21:45:08 | 显示全部楼层
还可以有一种巧算方法。
从主贴中得到:
\begin{align}
AC:f-c\bar{f}=-1+c \tag{1}\\
BC:e+c\bar{e}=1+c \tag{2}\\
e\bar{f}+f\bar{e}=0 \tag{3}
\end{align}
(2)-(1),(2)×f-(1)×e并比较(3)得
\begin{align}
e-f+c\bar{f}+c\bar{e}=2 \tag{4}\\
cf+f-ce+e==0\tag{5}
\end{align}
上式两端除以c并取共轭得
\[\bar{e}-\bar{f}=c\bar{e}+c\bar{f}\]
带回(4)即可证明。
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 楼主| 发表于 2021-2-18 22:41:48 | 显示全部楼层


证明五:
      仍然假设Rt△ABC在单位圆上,D在原点,AB在实轴上,显然有d=0,a=-1,b=1,欲证明等式等价于 \(e_x=f_x+1,因为F在CA上,所以f_y=\frac{c_y}{c_y+1}(1+f_x),由AC垂直BC和DE垂直DF得到\)

\[ BC:y+\frac{c_x+1}{c_y}x=\frac{c_x+1}{c_y}  \] \[DE:y+\frac{f_x}{f_y}x=0 \]解方程得\(e_x=1+f_x\)

证明六:
假设如前,因为AC垂直于BC,所以
\( \frac{1-e}{1-\bar{e}}=-\frac{1+f}{1+\bar{f}},化简后得 e+\bar{e}-\left( f+\bar{f}\right)=2-(e\bar{f}+f\bar{e}),由于DE垂直DF,得e\bar{f}+f\bar{e}=0,命题得证\)
证明七:
假设如前,因为AC垂直于BC,所以
\( \frac{e_y}{e_x-1}=-\frac{1+f_x}{f_y},化简后得 e_x-f_x=1-( e_xf_x+e_yf_y),由于DE垂直DF,得 e_xf_x+e_yf_y=0,命题得证\)
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发表于 2021-2-19 11:13:47 | 显示全部楼层
把图补全,真的很简单了。
捕获.PNG
1) 垂直 → 平方和相等  
    垂直+D为矩形中心 → 菱形EFGH(→EF=FG),及AE=BG
    DE^2+DF^2=EF^2, AE^2+BF^2=BG^2+BF^2=FG^2
   
2) 平方和相等 → 垂直
    D为矩形中心 → AE=BG,∴ AE^2+BF^2=BG^2+BF^2=FG^2
    D为矩形中心 → 平形四边形EFGH,∴ 2(DE^2+DF^2)=EF^2+FG^2
    故若 DE^2+DF^2=AE^2+BF^2 则 DE^2+DF^2=EF^2 → ∠EDF=90°
   

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很巧妙  发表于 2021-2-19 20:51

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 楼主| 发表于 2021-2-19 20:46:01 | 显示全部楼层

证明八:假设D在原点,a=-1,b=1,直线AC和DF的复斜率为u和v,则有:
\[AC:z-u\bar{z}=-1+u\]\[DF:z-v\bar{z}=0\]
可求得:\(f=\frac{1-u}{u-v}v,\bar{f}=\frac{1-u}{u-v}\)
因为AC和AB、DF和DE垂直,所以
\[AB:z+u\bar{z}=1+u\]\[DF:z+v\bar{z}=0\]可求得:\(e=-\frac{1+u}{u-v}v,\bar{e}=\frac{1+u}{u-v}\)
易于证明结论。
证明九:假设D在原点,a=-1,b=1,直线AC和DF的斜率为u和v,则有:
\[AC:y-ux=-1+u\]\[DF:y-vx=0\]
可求得:\(x_f=\frac{-u}{u-v}\)
因为AC和AB、DF和DE垂直,所以
\[CB:y+\frac{1}{u}x=\frac{1}{u}\]\[DF:y+\frac{1}{v}x=0\]可求得:\(e_x=\frac{-v}{u-v}\)
结论很显然。
以上多种证明方法坐标方法似乎更简单,不过对于许多更难的问题复数的优势很明显。
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