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[讨论] 求花瓣的面积

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发表于 2021-2-17 11:30:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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单位圆8等分,以这8点为圆心再做8个半径为1的圆,求阴影部分面积
20210217112424.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-17 13:03:20 | 显示全部楼层
该图是 中心对称图。刚好是16等分。我们只关注其中的1/16 部分, 而这1/16部分刚好可以用一个 极坐标的微积分$\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{8}}r_1(\theta)^2-r_2(\theta)^2d\theta$ 计算来表达。

\[8\int_{0}^{\frac{\pi}{8}}((\sqrt{2}(cos\theta+sin\theta))^2-(2sin\theta))^2d\theta  =8\]
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 楼主| 发表于 2021-2-17 13:47:27 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2021-2-17 13:03
该图是 中心对称图。刚好是16等分。我们只关注其中的1/16 部分, 而这1/16部分刚好可以用一个 极坐标的微积 ...

不对,答案很简洁的

点评

答案是8, 笔误  发表于 2021-2-17 14:10
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发表于 2021-2-18 09:01:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-18 09:03 编辑

挺不错的题目。有答案就好凑了。
阴影部分面积=大弓形面积(16个)-中弓形面积(16个)-小弓形面积(16个)
\((\frac{135^\circ*1*1*\pi}{360^\circ}-\frac{\sin135^\circ*1*1}{2})*16-(\frac{90^\circ*1*1*\pi}{360^\circ}-\frac{\sin90^\circ*1*1}{2})*16-(\frac{45^\circ*1*1*\pi}{360^\circ}-\frac{\sin45^\circ*1*1}{2})*16\)
\(=(\frac{135^\circ*\pi}{360^\circ}-\frac{90^\circ*\pi}{360^\circ}-\frac{45^\circ*\pi}{360^\circ})*16-(\frac{\sin135^\circ}{2}-\frac{\sin90^\circ}{2}-\frac{\sin45^\circ}{2})*16\)
\(=0*16+\frac{\sin90^\circ}{2}*16=\frac{1}{2}*16=8\)
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发表于 2021-2-18 09:34:26 | 显示全部楼层
拿个CAD画一下就可以了
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发表于 2021-2-18 11:04:44 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-2-18 09:34
拿个CAD画一下就可以了

这种回复没意思啊,不说要求证明过程,就算量出来是个整数,你也没办法保证误差

点评

同意  发表于 2021-2-18 20:00
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发表于 2021-2-18 16:57:13 | 显示全部楼层
circles.png
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发表于 2021-2-18 17:01:19 | 显示全部楼层
如图,弧OA,OB,OC的圆心角分别为$pi/4,{2\pi}/4,{3\pi}/4$.
所以可以得出弧BC和OA相等,由此,弓形BC和弓形OA相等,我们可以把所有外面的这些弓形裁剪补入中间的弓形,构成黑色细线构成的16边形面积和原图相等,其1/16部分为三角形OCD的面积,而CE//OD,所以三角形OCD面积等于三角形ODF的面积,显然这个等腰直角三角形面积为$1/2$,所以总面积为$16/2=8$

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