素数的概率

northwolves · 发表于 2021-2-18 23:34:30

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2-N之间的形如$30k+1，30k+7，30k+11，30k+13，30k+17，30k+19，30k+23，30k+29$的数字为素数的概率分别大约是多少呢？，假设$N>10^9$

lsr314 · 发表于 2021-2-19 09:53:28

本帖最后由 lsr314 于 2021-2-19 10:07 编辑

假设$(a,b)=1$,不超过N的形如$ak+b$的素数个数大约是$1/(phi(a))N/lnN$.
而不超过N的形如$ak+b$的正整数个数大约是$N/a$.
所以形如$ak+b$的正整数是素数的概率大约是$a/(phi(a))*1/lnN$.

数论爱好者 · 发表于 2025-5-9 17:20:03

本帖最后由数论爱好者于 2025-5-9 17:21 编辑

用一个直观一点的数据,任意一个x是素数的概率:1/lnx
当x=2n+1时,这时,x是素数的概率:2/lnx
当x=4n+1时,x是素数的概率:2/lnx
当x=4n+1时,且x的末尾是1时,x是素数的概率:5/(2*lnx)
回到你的问题
N/lnN=m
30k+1到30k+29共计8种类型产生素数,分配到30k+1的素数个数:m/8=1/8*(N/lnN)
30k+1型数占总数N的1/30,即N/30
素数个数/数的个数=概率
1/8*(N/lnN)/(N/30)=15/(4*lnN)
其它几个默认与30k+1大体相等

数论爱好者 · 发表于 2025-5-9 18:17:54

数论爱好者发表于 2025-5-9 17:20
用一个直观一点的数据,任意一个x是素数的概率:1/lnx
当x=2n+1时,这时,x是素数的概率:2/lnx
当x=4n+1时,x是 ...

8种素数的概率之和为1，那么每个类型的概率是1/8，即0.125，我错了吗

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[原创] 素数的概率

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