单位分数的和=ln(2)

王守恩

我不知道如何描述下面的题目。
\(\ln(2)=0.69314718....\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=0.6...,2+6=8\)
\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=0.69...,3+4+9=16\)
\(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{13}=0.693...,4+5+6+13=28\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{19}+\frac{1}{34}=0.6931...,2+9+19+34=64\)
.........
把ln(2)分成若干个(不同或相同都可以)单位分数的和，上面的分法可能(很可能)不是最好的，
最好的分法是指分母的和尽可能小(和相同取个数少的)。
各位网友！可有类似的链接？

northwolves

$1/4+1/5+1/7+1/19+1/21=0.6931,4+5+7+19+21=56$
$1/2+1/13+1/18+1/32+1/34 =0.69314...,2+13+18+32+34 =99$
$1/3+1/10+1/13+1/14+1/17+1/19=0.69314...,3+10+13+14+17+19=76$

zeroieme

https://oeis.org/A059180
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E ... A%E5%88%86%E6%95%B8

https://baike.baidu.com/item/%E5 ... %86%E6%95%B0/634864    究竟是词条还是小说啊

northwolves

Engel Expansion 是唯一的，楼主的问题不完全一样

zeroieme

northwolves 发表于 2021-2-20 16:16
Engel Expansion 是唯一的，楼主的问题不完全一样

埃及分数分解不是唯一的，Engel Expansion是其中一种方式。
按微鸡的说法，有限分数怎么得到最简分解都没有确定算法。无理数就更遥远。

王守恩

zeroieme 发表于 2021-2-20 17:07
埃及分数分解不是唯一的，Engel Expansion是其中一种方式。
按微鸡的说法，有限分数怎么得到最简分解都 ...

我先点个灯，虽然不够亮，但可以胆大走，慢慢都在向\(\ln(2)\)靠拢。
\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{20}=0.69\)分母的和=43
\(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{36}=0.693\)分母的和=94
\(\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{18}+\frac{1}{72}+\frac{1}{76}=0.6931\)分母的和=274
\(\frac{1}{24}+\frac{1}{25}+\cdots+\frac{1}{46}+\frac{1}{184}+\frac{1}{188}=0.69314\)分母的和=1177
\(\frac{1}{35}+\frac{1}{36}+\cdots+\frac{1}{68}+\frac{1}{272}+\frac{1}{276}=0.693147\)分母的和=2299
\(\frac{1}{118}+\frac{1}{119}+\cdots+\frac{1}{234}+\frac{1}{936}+\frac{1}{940}=0.6931471\)分母的和=22468
\(\frac{1}{150}+\frac{1}{151}+\cdots+\frac{1}{298}+\frac{1}{1192}+\frac{1}{1196}=0.69314718\)分母的和=35764
可以有通项(跟第1个数有关)，就是手工不好算，还有就是分母的和大了。