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[讨论] 把一个对称多项式配成三个非负项之和

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发表于 2021-2-20 22:23:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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有下列多项式:

\(a^4 b c + a^3 (b - c)^2 (b + c) - a^2 b c (b^2 + c^2) + a b c (b - c)^2 (b + c) + b^3 c^3\)

可以证明它是一个对称多项式,它不能分解因式,但是可以配成三个非负项之和。

问题是,如何用 mathematica 把此式化成三个非负项之和。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-20 22:38:50 | 显示全部楼层
跟你前一个问题有什么区别?
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 64&fromuid=3965
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 楼主| 发表于 2021-2-21 10:12:34 | 显示全部楼层
@zeroieme     跟前一个问题没有关系。用那个方法解决不了。
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 楼主| 发表于 2021-2-22 22:20:21 | 显示全部楼层
比如下式,已知a, b, c>0 ,欲证等式左边大于零,配成右边那样三个非负项之和即得。

\(a^4 b c + a^3 (b - c)^2 (b + c) - a^2 b c (b^2 + c^2) +
   a b c (b - c)^2 (b + c) + b^3 c^3
= ((a^3 + a b c) (b + c) (b - c)^2 + (b^3 + a b c) (c + a) (c -
         a)^2 + (c^3 + a b c) (a + b) (a - b)^2)/2。\)
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发表于 2021-2-23 12:39:20 | 显示全部楼层
那么被不应当拘泥三个,应当是若干个非负项之和
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 楼主| 发表于 2021-2-23 17:11:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-2-23 20:16 编辑

配成若干个非负项之和,这样说可能更好些。

本帖子标题中为什么说 “三个”? 因为代数不等式中,三元不等式居多,而对称三元代数式常常可以配成三个对称的非负项之和。

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 楼主| 发表于 2021-2-23 17:49:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-2-23 18:19 编辑

再举一些例子来说明。
【例二】当 \(a, b, c>0\) 时,证明不等式 \( \frac{1}{a^2 + 2 b c} +\frac{1}{b^2 + 2 c a} +\frac{1}{c^2 + 2 a b} ≥ \frac{2}{ab + b c+ca}+\frac{1}{a^2 + b^2+ c^2} \)。
证明方法,可以不使用任何现有不等式公式,而采用最笨的把右边各项移到左边,看看左边减去右边的差是否为非负数即可。对于此题,这个差是
\( \frac{(a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2 (2 a^2+a (b+c)+2 b^2+b c+2 c^2)}{(2 a c+b^2) (a^2+2 b c) (2 a b+c^2) (a^2+b^2+c^2) (a (b+c)+b c)}\)
上面这个结果可以使用如下 mathematica 程序代码完成:
  1. Simplify[Factor[
  2.   Together[1/(a^2 + 2 b c) + 1/(b^2 + 2 c a) + 1/(c^2 + 2 a b) - 2/(
  3.     a b + b c + c a) - 1/(a^2 + b^2 + c^2)]]]
复制代码
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 楼主| 发表于 2021-2-23 18:38:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-2-23 19:32 编辑

【例三】当 \(a, b, c>0\) 时,证明不等式 \( \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b} ≥ \frac{(a+b+c)^2}{2(ab + b c+ca)} \)。
仍使用【例二】中的方法,左边减右边的差是
\(\frac{a^4 (b+c)-a^3 (b^2+c^2)-a^2 (b^3+c^3)+a (b^4+c^4)+b c (b-c)^2 (b+c)}{2 (a+b) (a+c) (b+c) (a (b+c)+b c)}  \)

将上式分子展开并人工分成三组:
\(a^4 b+a^4 c-a^3 b^2-a^3 c^2-a^2 b^3-a^2 c^3+a b^4+a c^4+b^4 c-b^3 c^2-b^2 c^3+b c^4=(a^4 b-a^3 b^2-a^2 b^3+a b^4)+(b^4 c-b^3 c^2-b^2 c^3+b c^4)+(a^4 c-a^3 c^2-a^2 c^3+a c^4)\)
再对每一组进行因式分解,结果是:
\(a b (a+b) (a-b)^2+a c (a-c)^2 (a+c)+b c (b-c)^2 (b+c)\)
因此原不等式的左边减右边=\(\frac{a b (a + b) (a - b)^2 + b c (b + c) (b - c)^2 +
  c a (c + a) (c - a)^2}{2 (a + b) (a + c) (b + c) (a (b + c) + b c)}>= 0\)

分子如何进行分组,这是个难点。分的不对,就不能得到需要的结果。有没有用软件进行正确分组的办法?
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 楼主| 发表于 2021-2-23 19:25:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-2-23 19:46 编辑

【例四】当 \(a, b, c>0\) 时,证明不等式  \( \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b} ≥ \frac{3}{2} \)。
左边减右边的差是
\( -\frac{-2 a^3+a^2 (b+c)+a (b^2+c^2)-2 b^3+b^2 c+b c^2-2 c^3}{2 (a+b) (a+c) (b+c)}\)
将上式分子展开,结果为:\( 2 a^3-a^2 b-a^2 c-a b^2-a c^2+2 b^3-b^2 c-b c^2+2 c^3\)
将上式人工分成三组:
\( 2 a^3-a^2 b-a^2 c-a b^2-a c^2+2 b^3-b^2 c-b c^2+2 c^3=(a^3 - a^2 b - a b^2 + b^3)+(a^3 - a^2 c - a c^2 + c^3)+(b^3 - b^2 c - b c^2 + c^3)\)
对每一组分别进行因式分解,结果是:
\( (a^3 - a^2 b - a b^2 + b^3)+(a^3 - a^2 c - a c^2 + c^3)+(b^3 - b^2 c - b c^2 + c^3)=(a+b) (a-b)^2+(a-c)^2 (a+c)+(b-c)^2 (b+c)\)
所以原不等式的左边减去右边等于:
\(\frac{(a + b) (a - b)^2 + (c + a)  (c - a)^2 + (b + c) (b - c)^2}{ 2 (a +
   b) (b + c) (c + a) }  \)

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发表于 2021-2-23 22:35:59 | 显示全部楼层
我觉得,此类重组显著的特征是必然是$w(x-y)^2$模式,而且$w$是全正系数项多项式。所以三元多项式就是分三个乘积。
所以尝试求$(a-b)^2$商式并彻底展开并挑选其中正系数项。$(b-c)^2$与 $(a-c)^2$也如此操作。
接着仔细再分配,避免重叠项。使得到的各个乘积之和等于题目多项式。
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