一个关于竞猜概率的计算问题

justin8577

题目如下：
一家赌博公司开了个竞猜选世界小姐的奖项。共有十二位候选人，有网民投票，最后结果由投票多少决定排名（从1到12名）。注意：有可能投票是平局的两个人或多个人，比如如果两个第一名，那就没有第二名，下个排名从第三名开始。参与竞猜的人从网上通过软件押注猜定排，假设候选人是A₁, A₂...A₁₂, 而最后通过网络投票的排名是A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆,A₇,A₈,A₉,A₁₀,A₁₁,A₁₂. 如果一个竞猜者猜的的结果如下：A₁₂,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆,A₇,A₈,A₉,A₁₀,A₁₁,A₁  那么他猜中了十个排名，得相应猜中是十个的奖金。已知通过软件押注是不能压平局的，只能分别猜从一到十二名。
设竞猜者猜中零个的概率为P(0)，猜中一个的概率为P(1), 以此类推,12个排名全猜中的概率为P(12)。
问题如下：分别求出P(0),P(1),...,P(12).

northwolves

$P(i)=\frac{C_{12}^{i}}{2^12}$


$P(0)=1/4096$
$P(1)=12/4096$
$P(2)=66/4096$
$P(3)=220/4096$
$P(4)=495/4096$
$P(5)=792/4096$
$P(6)=924/4096$
$P(7)=792/4096$
$P(8)=495/4096$
$P(9)=220/4096$
$P(10)=66/4096$
$P(11)=12/4096$
$P(12)=1/4096$

northwolves

不考虑顺序的情况：

设$A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,...An$的排列总数为$B_{n}$
显然 $B_{1}=1$
对于 $A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,...AnA_{n+1}$
假设$L1L2...Lm$是$A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,...An$的某一个排列，则$A_{n+1}$的加入有两种方式，$L1L2...LmLm$和 $L1L2...LmA_{n+1}$
故$B_{n+1}=2B_{n}$
$Bn=2^{n-1}$

考虑到顺序：
$B_{1}=1$
$B_{2}=3：   12，21，11$
$B_{3}=13： 123， 132， 213， 231， 312， 321， 113， 221， 131， 212， 311， 122， 111$
$B_{4}=75：.....$
...
$B_{12}=28091567595$

$B_{n} \approx \frac{n!}{2(ln2)^{n+1}}$

Fubini numbers

northwolves

我晕，错的一塌糊涂，再想想

.·.·.

最后结果由投票多少决定排名

这句话什么意思？
不解释清楚这题没法做

justin8577

.·.·. 发表于 2021-3-2 19:53
最后结果由投票多少决定排名

这句话什么意思？

就是根据网名投票，得票最多的候选人得第一名，得票最少的最后一名。

补充内容 (2021-3-4 09:40):
题目写得很清楚了，投票的是全世界网民，投注者也可投票，但相对于全世界网民，犹如沧海一粟，不会对整体票池产生什么影响。

justin8577

northwolves 发表于 2021-3-2 19:01
不考虑顺序的情况：

设$A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,...An$的排列总数为$B_{n}$

你先算算一共有多少种排名情况，再来算概率吧。

northwolves

justin8577 发表于 2021-3-3 09:47
你先算算一共有多少种排名情况，再来算概率吧。

12个人的排名情况共计$B_{12}=28091567595$ 种

justin8577

northwolves 发表于 2021-3-3 12:44
12个人的排名情况共计$B_{12}=28091567595$ 种

对的，该数列就是Fubini numbers， B12=28091567595,  下面就是算概率问题了。