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[提问] 一个关于竞猜概率的计算问题

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发表于 2021-3-2 09:38:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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题目如下:
一家赌博公司开了个竞猜选世界小姐的奖项。共有十二位候选人,有网民投票,最后结果由投票多少决定排名(从1到12名)。注意:有可能投票是平局的两个人或多个人,比如如果两个第一名,那就没有第二名,下个排名从第三名开始。参与竞猜的人从网上通过软件押注猜定排,假设候选人是A1, A2...A12, 而最后通过网络投票的排名是A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12. 如果一个竞猜者猜的的结果如下:A12,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A1  那么他猜中了十个排名,得相应猜中是十个的奖金。已知通过软件押注是不能压平局的,只能分别猜从一到十二名。
设竞猜者猜中零个的概率为P(0),猜中一个的概率为P(1), 以此类推,12个排名全猜中的概率为P(12)。
问题如下:分别求出P(0),P(1),...,P(12).

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-2 18:44:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2021-3-2 18:46 编辑

$P(i)=\frac{C_{12}^{i}}{2^12}$


$P(0)=1/4096$
$P(1)=12/4096$
$P(2)=66/4096$
$P(3)=220/4096$
$P(4)=495/4096$
$P(5)=792/4096$
$P(6)=924/4096$
$P(7)=792/4096$
$P(8)=495/4096$
$P(9)=220/4096$
$P(10)=66/4096$
$P(11)=12/4096$
$P(12)=1/4096$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-2 19:01:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2021-3-2 22:30 编辑

不考虑顺序的情况:

设$A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,...An$的排列总数为$B_{n}$
显然 $B_{1}=1$
对于 $A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,...AnA_{n+1}$
假设$L1L2...Lm$是$A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,...An$的某一个排列,则$A_{n+1}$的加入有两种方式,$L1L2...LmLm$和 $L1L2...LmA_{n+1}$
故$B_{n+1}=2B_{n}$
$Bn=2^{n-1}$

考虑到顺序:
$B_{1}=1$
$B_{2}=3:   12,21,11$
$B_{3}=13: 123, 132, 213, 231, 312, 321, 113, 221, 131, 212, 311, 122, 111$
$B_{4}=75:.....$
...
$B_{12}=28091567595$

$B_{n} \approx \frac{n!}{2(ln2)^{n+1}}$

Fubini numbers

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-2 19:22:07 | 显示全部楼层
我晕,错的一塌糊涂,再想想
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-2 19:53:17 | 显示全部楼层
最后结果由投票多少决定排名

这句话什么意思?
不解释清楚这题没法做
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-3-3 09:41:52 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2021-3-2 19:53
最后结果由投票多少决定排名

这句话什么意思?

就是根据网名投票,得票最多的候选人得第一名,得票最少的最后一名。

补充内容 (2021-3-4 09:40):
题目写得很清楚了,投票的是全世界网民,投注者也可投票,但相对于全世界网民,犹如沧海一粟,不会对整体票池产生什么影响。

点评

投票的是谁?是否跟投注的是同一组人?投注人的投票是否可以忽略不计?……这问题多了去了  发表于 2021-3-3 19:06
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-3-3 09:47:01 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2021-3-2 19:01
不考虑顺序的情况:

设$A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,...An$的排列总数为$B_{n}$

你先算算一共有多少种排名情况,再来算概率吧。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-3 12:44:46 | 显示全部楼层
justin8577 发表于 2021-3-3 09:47
你先算算一共有多少种排名情况,再来算概率吧。

12个人的排名情况共计$B_{12}=28091567595$ 种
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-3-4 10:04:33 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2021-3-3 12:44
12个人的排名情况共计$B_{12}=28091567595$ 种

对的,该数列就是Fubini numbers, B12=28091567595,  下面就是算概率问题了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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