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[讨论] 求最大实数 k,使得 a^3+b^3+c^3≥3abc+k(a-b)(b-c)(c-a) 对所有正实数 a,b,c 都成立

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发表于 2021-3-3 17:03:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 uk702 于 2021-3-3 17:11 编辑

这是数学中国中的一道题(http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2045261),我有些犯糊涂了:
1)能否“不妨设” a ≥ b ≥ c?
2)假设 a ≥ b ≥ c,并且令 b = c + v,a = b+u,这时 c,u,v ≥ 0,利用 gp ,得到
(16:33) gp > a=c+u+v;b=c+v;a^3+b^3+c^3-3*a*b*c-k*(a-b)*(b-c)*(c-a)
%4 = u^3 + (3*c + (k + 3)*v)*u^2 + (3*v*c + (k + 3)*v^2)*u + (3*v^2*c + 2*v^3)
现在的问题是,如何利用 Mathematica 得到上述结果?
3)根据 2),立即知对于所有 k ≥ -3,都有 \(a^3+b^3+c^3 ≥ 3abc + k(a-b)(b-c)(c-a) \),而原题要求求最大的 k ,难道是出错题了?



Image 1.png
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 楼主| 发表于 2021-3-3 17:38:18 | 显示全部楼层
第 1)问,将 a、b 对换,k*(a-b)*(b-c)*(c-a) 结果正好相反,因此,估计是不能作“不妨设”  a ≥ b ≥ c
第 3)问,若  b ≥ a ≥ c,则可假设为 b=c+u+v;a=c+v;a^3+b^3+c^3-3*a*b*c-k*(a-b)*(b-c)*(c-a)
a^3+b^3+c^3-3*a*b*c-k*(a-b)*(b-c)*(c-a) = u^3 + (3*c + (-k + 3)*v)*u^2 + (3*v*c + (-k + 3)*v^2)*u + (3*v^2*c + 2*v^3)
易知,若 -3 ≤ k ≤ 3,\(a^3+b^3+c^3 ≥ 3abc + k(a-b)(b-c)(c-a) \) 必然成立,因此,第 3) 问的答案是 k 最大值为 3 ?
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发表于 2021-3-3 19:19:47 | 显示全部楼层
设\(k = \frac{a^3+b^3+c^3-3 a b c}{(c-a) (b-c) (a-b)}\),那么$k$的取值范围是 \(k<-\sqrt{3 \left(2 \sqrt{3}+3\right)} || k> \sqrt{3 \left(2 \sqrt{3}+3\right)}=4.40367... \)

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how do you do? 这个结果你是怎么做出来的?  发表于 2021-3-3 19:35
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 楼主| 发表于 2021-3-3 22:03:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2021-3-3 22:20 编辑
wayne 发表于 2021-3-3 19:19
设\(k = \frac{a^3+b^3+c^3-3 a b c}{(c-a) (b-c) (a-b)}\),那么$k$的取值范围是 \(k \sqrt{3 \left(2 \sqr ...


使用 Geogebra 画了个图(x、a、b > 0 对应于红线右边),验证了 #3 楼的结果。
2021-03-03_220051.png
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发表于 2021-3-4 09:10:30 | 显示全部楼层
$a^3+b^3+c^3-3 a b c$恒为正数。所以我们只需考虑 $k$与$(c-a) (b-c) (a-b)$同号的情况
也就是只需要考虑\( (\frac{a^3+b^3+c^3-3 a b c}{(c-a) (b-c) (a-b)})^2\)的最小值。而这个函数是齐次的,于是设$c=1$就变成了二元函数了。当然不设$c=1$也是可以直接用Mathematica求出最小值的。

点评

碰巧会做  发表于 2021-3-5 09:09

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