求最大实数 k，使得 a^3+b^3+c^3≥3abc+k(a-b)(b-c)(c-a) 对所有正实数 a,b,c 都成立

uk702

这是数学中国中的一道题（http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2045261），我有些犯糊涂了：
1）能否“不妨设” a ≥ b ≥ c？
2）假设 a ≥ b ≥ c，并且令 b = c + v，a = b+u，这时 c，u，v ≥ 0，利用 gp ，得到
(16:33) gp > a=c+u+v;b=c+v;a^3+b^3+c^3-3*a*b*c-k*(a-b)*(b-c)*(c-a)
%4 = u^3 + (3*c + (k + 3)*v)*u^2 + (3*v*c + (k + 3)*v^2)*u + (3*v^2*c + 2*v^3)
现在的问题是，如何利用 Mathematica 得到上述结果？
3）根据 2），立即知对于所有 k ≥ -3，都有 \(a^3+b^3+c^3 ≥ 3abc + k(a-b)(b-c)(c-a) \)，而原题要求求最大的 k ，难道是出错题了？

uk702

第 1）问，将 a、b 对换，k*(a-b)*(b-c)*(c-a) 结果正好相反，因此，估计是不能作“不妨设”  a ≥ b ≥ c
第 3）问，若  b ≥ a ≥ c，则可假设为 b=c+u+v;a=c+v;a^3+b^3+c^3-3*a*b*c-k*(a-b)*(b-c)*(c-a)
a^3+b^3+c^3-3*a*b*c-k*(a-b)*(b-c)*(c-a) = u^3 + (3*c + (-k + 3)*v)*u^2 + (3*v*c + (-k + 3)*v^2)*u + (3*v^2*c + 2*v^3)
易知，若 -3 ≤ k ≤ 3，\(a^3+b^3+c^3 ≥ 3abc + k(a-b)(b-c)(c-a) \) 必然成立，因此，第 3） 问的答案是 k 最大值为 3 ？

wayne

设\(k = \frac{a^3+b^3+c^3-3 a b c}{(c-a) (b-c) (a-b)}\),那么$k$的取值范围是 \(k<-\sqrt{3 \left(2 \sqrt{3}+3\right)} || k> \sqrt{3 \left(2 \sqrt{3}+3\right)}=4.40367... \)

uk702

wayne 发表于 2021-3-3 19:19
设\(k = \frac{a^3+b^3+c^3-3 a b c}{(c-a) (b-c) (a-b)}\),那么$k$的取值范围是 \(k \sqrt{3 \left(2 \sqr ...

使用 Geogebra 画了个图（x、a、b > 0 对应于红线右边），验证了 #3 楼的结果。

wayne

$a^3+b^3+c^3-3 a b c$恒为正数。所以我们只需考虑 $k$与$(c-a) (b-c) (a-b)$同号的情况
也就是只需要考虑\( (\frac{a^3+b^3+c^3-3 a b c}{(c-a) (b-c) (a-b)})^2\)的最小值。而这个函数是齐次的，于是设$c=1$就变成了二元函数了。当然不设$c=1$也是可以直接用Mathematica求出最小值的。