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[求助] 清华大学自招题改编的一道题

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发表于 2021-3-4 11:48:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 rayfekeeper 于 2021-3-4 12:07 编辑

2021.3.3 (清华大学自招题改编)在方格中填入数字,要求:
①只能填入1或2;
②每行每列都至少填入1个数;
②每一行或每一 列的数字均为1、 2、1、2、1... (1和2交替出现,且首尾均是1,只有数字1也算符合要求)

问题1:如果放入4X4的方格中有多少种方法?
问题2:如果放入5X5的方格中有多少种方法?
(不可以翻转或旋转)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-4 12:31:23 | 显示全部楼层
这样枚举可行否?

4*4:

1000
0100
0010
0001

4!=24种

0100
1210
0100
0001

4*4=16种

0100
1210
0121
0010

2种

共计42种。

点评

可以枚举的,4*4没问题  发表于 2021-3-4 13:25
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-5 21:04:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2021-3-5 23:09 编辑

相关数列:
1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, 10850216, 911835460, 129534272700, 31095744852375,......
http://oeis.org/A005130
把同构的算作一种
http://oeis.org/A181388

  1. n = 5;

  2. cond = Compile[{{a, _Integer, 1}},
  3.    With[{t = DeleteCases[a, 0]}, Boole[t == {1} || t == {1, -1, 1} || t == {1, -1, 1, -1, 1}]],
  4.    RuntimeAttributes -> {Listable}];

  5. Tuples[{-1, 0, 1}, n] // RightComposition[
  6.   Pick[#, cond@#, 1] &,
  7.   Tuples[#, n] &,
  8.   Pick[#, Times @@ Transpose@cond@Transpose[#, {1, 3, 2}], 1] &
  9.   Length,
  10.   AbsoluteTiming
  11.   ]
复制代码
{0.975322, 429}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-31 08:10:23 | 显示全部楼层
KeyTo9_Fans 发表于 2021-3-4 12:31
这样枚举可行否?

4*4:

4*4:

1000
0100
0010
0001

4!=24种

0001   0010   0100   1000
0100   0121   1210   0010
1210   0010   0100   0121
0100   1000   0001   0010

4种

0010   0100
0121   1210
1210   0121
0100   0010

2种

共计24+4+2=30种。






毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-1 10:28:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-4-1 10:29 编辑
chyanog 发表于 2021-3-5 21:04
相关数列:
1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, 10850216, 911835460, 129534272700, 31095744852375,... ...


1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, 10850216, 911835460, 129534272700, 31095744852375,... ...

太神奇了!这通项公式还可以这样写的!http://oeis.org/A005130——2021年3月4日

\(\D a(n)=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(3k+1)!}{(k+n)!}=\sqrt[3]{\frac{27^{n}\Gamma(n)\Gamma(n+1/3)^2\BarnesG(3n)\BarnesG(n+1)^3\ \ \ \ \ \ }{3\Gamma(1/3)^2\BarnesG(2n+1)^3}}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-4-2 08:01:41 | 显示全部楼层
一,主帖。在方格中填入数字,要求:
①只能填入1或2;
②每行每列都至少填入1个数;
②每一行或每一 列的数字均为1、 2、1、2、1... (1和2交替出现,且首尾均是1,只有数字1也算符合要求)

问题1:如果放入4X4的方格中有多少种方法?
问题2:如果放入5X5的方格中有多少种方法?
(不可以翻转或旋转)

二,主帖可以这样解读。
1,角格(4个角共4个)只能是:不填或填1
2,边格(周边的格,不包括角格)只能是:
     不填(角格填1)或填1(角格不填)
3,中格(不包括角格, 边格)只能是:
     从外往内数
     第1层最多填 1, 2, 1
     第2层最多填 1, 2, 1, 2, 1
     第3层最多填 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1
     第4层最多填 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1
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