一道貌似简单实则无从下手的不等式求助

uk702

这也是数学中国中的一道题（http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2045255）:
已知 a，b,  c,  d,  e > 0，求证：\(\frac{a+b}{2}\frac{b+c}{2}\frac{c+d}{2}\frac{d+e}{2}\frac{e+a}{2} ≤ \frac{a+b+c}{3}\frac{b+c+d}{3}\frac{c+d+e}{3}\frac{d+e+a}{3}\frac{e+a+b}{3}\)
或者等价形式：求证 \((1+\frac{c}{a+b})(1+\frac{d}{b+c})(1+\frac{e}{c+d})(1+\frac{a}{d+e})(1+\frac{b}{e+a}) ≥ \frac{243}{32} \)

显然当 a, b, c, d, e 均等时等号是能取到的，因此，右边的 243/32 = 7.59375 是最佳结果。

uk702

某PDF（不等式问题集及答案(1-400).pdf，不排除是民间手工制作的）第314题给出了一个较弱的结果，但个人认为其中的证明有漏洞（它只是一个轮换式，不是对称式），实则是错的。

uk702

磨光法或许是一种好的思路，先选择 a, b, c, d, e 中的最大者，比如说为 a，然后固定 b, c, d, e，如果我们能找到一个 a'，满足 min(b, c, d, e) < a' < max(b, c, d, e) ，使得
\[\frac{1+a'}{b+c}\frac{1+b}{c+d}\frac{1+c}{d+e}\frac{1+d}{e+a'} ≤ \frac{1+a}{b+c}\frac{1+b}{c+d}\frac{1+c}{d+e}\frac{1+d}{e+a}\]

这个命题就应该得证。

uk702

不知是否和 /thread-17750-1-1.html 有异曲同工之处？甚至一般情况下（当 n 充分大时）， #1 楼的结论是否成立可能也是存疑。

mathe

n为偶数情况，数字分别取1,0,1,0,...那么，2#中的等号条件是可以达到的，这个数据也说明了2#中的“证明”方法是错误的。
所以可以想象，对于n充分大的奇数情况，系数也会非常接近2#的情况。但是对于n=5的情况，1#是否成立还很难说。

mathe

由于题目的齐次性，我们不妨仅考虑$x_1+x_2+...+x_n=1$的情况。
我们考虑其中六个连续项比如$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$,如果我们保持所有其它项不变，而仅改变$x_3,x_4$,于是要求$s=x_3+x_4$保持不变 (需要注意，这分析方法对于一切$n\ge 4$都有效，只是比如$n=5$时必然$x_1=x_6$。
于是不等式两边的比例这时会发生变化的仅有
\(\frac{(x_1+x_2+x_3)(x_4+x_5+x_6)}{(x_2+x_3)(x_4+x_5)}=(1+\frac{x_1}{x_2+x_3})(1+\frac{x_6}{x_4+x_5})\)
设\(X=x_2+x_3,Y=x_4+x_5, S=X+Y,u=x_1,v=x_6\)
得出比例变化部分为\(h(X)=(1+\frac{u}{X})(1+\frac{v}{S-X})\)，而这个关于$X$的函数二阶导数不小于0，所以是凸函数，在区间$(0,S)$中先减后增，有且只有一个最小值。
另外题目中，为了分析边界情况，我们可以允许部分$x_i=0$,但是两个连续数字为0的情况我们需要排除，因为这时不等式左边为0，总是不大于右边，不需要考虑。
如果$v=x_6=0$,那么$h(X)$是减函数，所以最优时X必然取最大值，所以这是Y必须取最小值，也就是必然有$x_4=0$,依次类推，同理必然有$x_2=0$,等等
所以n是奇数时没有0.

mathe

现在n=5的情况可以解决了，对于n=5时，上面$h(X)$中，总是有$u=v$,而且每个$x_i$都不能是0，所以我们得出取最值情况，只能$X=Y=S/2$,所以得出
$x_2+x_3=x_4+x_5$. 注意到轮换对称性，我们得出
$x_1+x_2=x_3+x_4$等等，最后得出只能$x_1=x_2=x_3=x_4=x_5$

mathe

而对于n是偶数情况，如果存在某个数是0，我们知道这时0必须间隔出现，不凡设$x_1=x_3=...=x_{n-1}=0$
于是不等式转化为\(x_2^2x_4^2\cdots x_n^2\le \frac{x_2(x_2+x_4)x_4(x_4+x_6)\cdots x_n(x_n+x_2)}{2^{n/2}}\)这个不等式显然成立而且等号在$x_2=x_4=...=x_n$时取到。
而没有0的一般情况，转化出来的约束方程为$x_1(x_4+x_5+x_6)(x_4+x_5)=x_6(x_1+x_2+x_3)(x_2+x_3)$,还有些复杂

mathe

2#的证明是正确的，相当于一个连乘式拆分成两个后第二个进行轮换置换。只是等号条件对于奇数n取不到

mathe

2k-1个数时，极值好像同2k个数的相同，即$2^k$,是在这2k-1个数为1,1,0,1,0,1,...,0,1,0时取到。
前面分析过程中说出现0必须所有的0间隔，遗漏了一种$x_1=x_6=0$的情况，这种情况不需要$x_4=0$等要求