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[讨论] 共格尔刚点的俩三角形

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发表于 2021-3-23 23:31:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,ΔABC的内切圆与3边切于D,E,F,G是ΔABC的格尔岗点。
连线AD、BE、CF分别交内切圆于H、I、J, 过此三交点作内切圆的切线围成ΔA'B'C'.
求证:        1)G也是ΔA'B'C' 的格尔岗点。
                2)ΔABC与ΔA'B'C'的重叠六边形内接于一个椭圆(图中绿色曲线)。
两共格尔刚点的三角形.PNG
我们发现无论ΔABC的形状如何变化,那个绿色外接椭圆都十分接近于圆,但又一般不是圆。
也就是说,绿色椭圆的离心率总是很小。那么,它的离心率最大能达到多少呢?

点评

@mathe 所谓ΔABC→ΔA'B'C'的变换,Δ被当作一个整体对象。迭代作图周期为2。  发表于 2021-3-29 11:19
这个射影变换全平面应该不是对合,只是红色圆上对合  发表于 2021-3-27 22:13
ΔABC→ΔA'B'C'的变换是一个对合,确实有点意外。  发表于 2021-3-25 07:07
@wayne 一个透视对应而已。  发表于 2021-3-24 15:08
老大这是要发现新的几何变换了  发表于 2021-3-24 12:40
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-24 13:01:18 | 显示全部楼层
EI,HD,JF交于定点G,所以它们确定了内切圆上的一个对合变换,于是E的切线和I的切线的交点,H的切线和D的切线的交点,以及J的切线和F的切线的交点共线,也就是是六边形PONMLK的对边交点共线,所以六点共二次曲线。
另外上面的对合变换确定了平面上一个射影变换,将AB映射为A'B'等,于是A被映射为A'等,于是A'在直线AHD上,得出G为三角形A'B'C'的格尔岗点
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发表于 2021-3-24 13:20:31 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2021-3-24 14:23:32 | 显示全部楼层
@mathe
哦,存在外格尔岗点的构图。我拖来拖去没碰到啊。
可能碰到时,受作图的交点范围限制,图形就消失了。
也许内格尔岗点至内格尔岗点,离心率会收敛?
本来还想说A,B,C,A',B',C'也共一个椭圆,看来也可能是双曲线哪。
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发表于 2021-3-24 15:26:48 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2021-3-24 14:23
@mathe
哦,存在外格岗点的构图。我拖来拖去没碰到啊。
也许内格尔岗点至内格尔岗点,离心率会收敛?

你的是几何画板画的图吗?

点评

Geogebra  发表于 2021-3-24 16:05
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发表于 2021-3-27 08:24:39 来自手机 | 显示全部楼层
我们如果考虑使用各种射影变换保持红色圆映射到自身。我们知道这时可以选择圆上三个点等分圆将三角形ABC映射为正三角形,于是这时紫绿色椭圆转化为红圆的同心圆,G转为三角形的中心。注意到反变化回去G总是保持映射到红圆内部,所以会映射到绿圆内部的点,所以这种映射必然只会将绿圆映射为椭圆,而不会变为抛物线或双曲线。
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发表于 2021-3-27 11:23:20 | 显示全部楼层
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发表于 2021-3-27 11:59:03 | 显示全部楼层
上面作图过程,1->1, G->G'  确定直线 1G->1G', 确定2->2'
于是2'切线和1的切线的交点H为水平方向无穷远方向的像。
另外GG'和22'的交点O为直线1G到1G'的透视变换中心,也就是直线1G上任意一点X,连接XO和1G'的交点X'就是X的像。S,T都在直线1G上,将它们分别和O连接交1G'得到像S',T'.
过G做水平线交内圆于3,4两点,于是直线34的像为G'H,交内圆于3'4'两点即34两点的像。
于是3'和4'两点处切线和1G'共同相交于V为垂直方向无穷远点的像。

分别设直线BC和AD分别和内圆交与5,6,7,8.于是58和67都是水平直线,分别交1G于U,W, 做U,W的像U',W'
于是HU',HW'分别交内圆于5',6',7',8'得出5,6,7,8的像。
连接5'6'交直线AB得到B的像B',交2'的切线于C'得C的像,连接7'8'交AB得到A的像A',交2'的切线于D'得D的像.
得到6个像S',T',A',B',C',D'后就可以确定蓝色目标曲线。
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发表于 2021-3-27 13:55:19 来自手机 | 显示全部楼层
发现外面的圆还是有可能被映射成双曲线的。把单位圆映射为自身,并且把圆心G映射为G',那么必然把另外一个圆内点G"映射为圆心G。所以当G"关于内圆的极线和外圆相交时,外圆和极线的交点会被映射为无穷远点,也就是外圆这时会是双曲线。
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发表于 2021-3-28 10:39:31 | 显示全部楼层
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