共格尔刚点的俩三角形

hujunhua

如图，ΔABC的内切圆与3边切于D,E,F，G是ΔABC的格尔岗点。
连线AD、BE、CF分别交内切圆于H、I、J, 过此三交点作内切圆的切线围成ΔA'B'C'.
求证：        1）G也是ΔA'B'C' 的格尔岗点。
                2）ΔABC与ΔA'B'C'的重叠六边形内接于一个椭圆（图中绿色曲线）。

我们发现无论ΔABC的形状如何变化，那个绿色外接椭圆都十分接近于圆，但又一般不是圆。
也就是说，绿色椭圆的离心率总是很小。那么，它的离心率最大能达到多少呢？

mathe

EI,HD,JF交于定点G,所以它们确定了内切圆上的一个对合变换，于是E的切线和I的切线的交点，H的切线和D的切线的交点，以及J的切线和F的切线的交点共线，也就是是六边形PONMLK的对边交点共线，所以六点共二次曲线。
另外上面的对合变换确定了平面上一个射影变换，将AB映射为A'B'等，于是A被映射为A'等，于是A'在直线AHD上，得出G为三角形A'B'C'的格尔岗点

mathe

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2021-3-24 13:20 上传

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做图显示，这六点的椭圆可以任意扁，只要拖动图上的切点D,E让它们充分靠近即可

hujunhua

@mathe
哦，存在外格尔岗点的构图。我拖来拖去没碰到啊。
可能碰到时，受作图的交点范围限制，图形就消失了。
也许内格尔岗点至内格尔岗点，离心率会收敛？
本来还想说A,B,C,A',B',C'也共一个椭圆，看来也可能是双曲线哪。

也许，我应该把题目起为“共内切圆和格尔刚点的俩三角形”。
（内外之别，在几何上表现冏异，然而代数上是形式统一的，只是一个正负号组合的差异。）

mathematica

hujunhua 发表于 2021-3-24 14:23
@mathe
哦，存在外格岗点的构图。我拖来拖去没碰到啊。
也许内格尔岗点至内格尔岗点，离心率会收敛？

你的是几何画板画的图吗？

mathe

我们如果考虑使用各种射影变换保持红色圆映射到自身。我们知道这时可以选择圆上三个点等分圆将三角形ABC映射为正三角形，于是这时紫绿色椭圆转化为红圆的同心圆，G转为三角形的中心。注意到反变化回去G总是保持映射到红圆内部，所以会映射到绿圆内部的点，所以这种映射必然只会将绿圆映射为椭圆，而不会变为抛物线或双曲线。

mathe

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2021-3-27 11:13 上传

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现在我们知道题目转化为给定正六边形内切圆和外接圆，我们寻找一个射影变换，要求将内切圆映射为自身并且将圆心映射为内切圆内部一点时，
如何使得外接圆的像的离心率最大。
假设这个映射将点G转为为G'点。由于我们总是可以将射影变换后的结果绕圆心G选择使得图绿色点1被映射为自身，而不改变目标蓝色椭圆的离心率，
我们总假设点1是映射的不动点，在这种假设下，G'将变成这个射影变换的唯一可调参数。
用Geogebra打开上面.ggb附件，将G'在内切圆内部移动，就可以看到蓝色目标曲线会发生变换。
我们可以发现(还没有证明)，
性质1：GG'总是蓝色目标曲线的长轴
性质2:  GG'长度保持不变时，蓝色目标曲线的形状保持不变。
性质3：GG'长度增加时，蓝色目标曲线的离心率变大。

如果上面性质都成立，那我们只需要将G'沿着任意方向逼近内切圆，然后计算这时蓝色椭圆的离心率即可。

mathe

上面作图过程，1->1, G->G'  确定直线 1G->1G', 确定2->2'
于是2'切线和1的切线的交点H为水平方向无穷远方向的像。
另外GG'和22'的交点O为直线1G到1G'的透视变换中心，也就是直线1G上任意一点X，连接XO和1G'的交点X'就是X的像。S,T都在直线1G上，将它们分别和O连接交1G'得到像S',T'.
过G做水平线交内圆于3,4两点，于是直线34的像为G'H,交内圆于3'4'两点即34两点的像。
于是3'和4'两点处切线和1G'共同相交于V为垂直方向无穷远点的像。

分别设直线BC和AD分别和内圆交与5,6,7,8.于是58和67都是水平直线，分别交1G于U,W, 做U,W的像U',W'
于是HU',HW'分别交内圆于5',6',7',8'得出5,6,7,8的像。
连接5'6'交直线AB得到B的像B',交2'的切线于C'得C的像，连接7'8'交AB得到A的像A'，交2'的切线于D'得D的像.
得到6个像S',T',A',B',C',D'后就可以确定蓝色目标曲线。

mathe

发现外面的圆还是有可能被映射成双曲线的。把单位圆映射为自身，并且把圆心G映射为G'，那么必然把另外一个圆内点G"映射为圆心G。所以当G"关于内圆的极线和外圆相交时，外圆和极线的交点会被映射为无穷远点，也就是外圆这时会是双曲线。

mathe

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2021-3-28 10:38 上传

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这个方案将内圆内一点G映射为圆心G'，并且保持圆上点0不动，内圆上所有点映射到内圆。
为了做出外圆的像：
1) 0G=>0G' 得出1=>1'.
2）做0,1的切线交于H点得出H被映射为水平方向无穷远点
3）做G关于内圆的极线，于是知道此极线会被映射为无穷远直线
      于是极线和0G的交点V会被映射为垂直方向的无穷远点。
4) 任取内圆上点2,直线2H交0G于X, OX交0G'于X',于是X映射为X'。
    过X'做水平直线交内圆于2',于是直线2HX映射为2'X',所以2映射为2'.
5) 设2点切线交极线HV于F，于是任意过F点的直线的像与2'的切线平行。
6）对于动点P, 做PH交0G于$P_H$, $OP_H$交0G'于$P'_H$, 过$P'_H$做红色水平线。
7）设PF交0G于$P_F$,$OP_F$交0G'于$P'_F$, 过$P'_F$做2'切线的红色平行线，交过$P'_H$的红线于P'.
8)  0G交外圆于S,T, 分别连接OS,OT交0G'于S',T'.
9) 做P'关于点P的紫色轨迹，这个轨迹必然过点S',T',而且是圆锥曲线。
附件中的Geogebra文件中可以拖动G点，可以看到G点非常考虑内圆边界时，P'轨迹可以转化为双曲线。