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[讨论] 共格尔刚点的俩三角形

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发表于 2021-3-23 23:31:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,ΔABC的内切圆与3边切于D,E,F,G是ΔABC的格尔岗点。
连线AD、BE、CF分别交内切圆于H、I、J, 过此三交点作内切圆的切线围成ΔA'B'C'.
求证:        1)G也是ΔA'B'C' 的格尔岗点。
                2)ΔABC与ΔA'B'C'的重叠六边形内接于一个椭圆(图中绿色曲线)。
两共格尔刚点的三角形.PNG
我们发现无论ΔABC的形状如何变化,那个绿色外接椭圆都十分接近于圆,但又一般不是圆。
也就是说,绿色椭圆的离心率总是很小。那么,它的离心率最大能达到多少呢?

点评

@mathe 所谓ΔABC→ΔA'B'C'的变换,Δ被当作一个整体对象。迭代作图周期为2。  发表于 2021-3-29 11:19
这个射影变换全平面应该不是对合,只是红色圆上对合  发表于 2021-3-27 22:13
ΔABC→ΔA'B'C'的变换是一个对合,确实有点意外。  发表于 2021-3-25 07:07
@wayne 一个透视对应而已。  发表于 2021-3-24 15:08
老大这是要发现新的几何变换了  发表于 2021-3-24 12:40
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-24 13:01:18 | 显示全部楼层
EI,HD,JF交于定点G,所以它们确定了内切圆上的一个对合变换,于是E的切线和I的切线的交点,H的切线和D的切线的交点,以及J的切线和F的切线的交点共线,也就是是六边形PONMLK的对边交点共线,所以六点共二次曲线。
另外上面的对合变换确定了平面上一个射影变换,将AB映射为A'B'等,于是A被映射为A'等,于是A'在直线AHD上,得出G为三角形A'B'C'的格尔岗点
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发表于 2021-3-24 13:20:31 | 显示全部楼层
el.png
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做图显示,这六点的椭圆可以任意扁,只要拖动图上的切点D,E让它们充分靠近即可
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 楼主| 发表于 2021-3-24 14:23:32 | 显示全部楼层
@mathe
哦,存在外格尔岗点的构图。我拖来拖去没碰到啊。
可能碰到时,受作图的交点范围限制,图形就消失了。
也许内格尔岗点至内格尔岗点,离心率会收敛?
本来还想说A,B,C,A',B',C'也共一个椭圆,看来也可能是双曲线哪。

也许,我应该把题目起为“共内切圆和格尔刚点的俩三角形”。
(内外之别,在几何上表现冏异,然而代数上是形式统一的,只是一个正负号组合的差异。)
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发表于 2021-3-24 15:26:48 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2021-3-24 14:23
@mathe
哦,存在外格岗点的构图。我拖来拖去没碰到啊。
也许内格尔岗点至内格尔岗点,离心率会收敛?

你的是几何画板画的图吗?

点评

Geogebra  发表于 2021-3-24 16:05
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发表于 2021-3-27 08:24:39 来自手机 | 显示全部楼层
我们如果考虑使用各种射影变换保持红色圆映射到自身。我们知道这时可以选择圆上三个点等分圆将三角形ABC映射为正三角形,于是这时紫绿色椭圆转化为红圆的同心圆,G转为三角形的中心。注意到反变化回去G总是保持映射到红圆内部,所以会映射到绿圆内部的点,所以这种映射必然只会将绿圆映射为椭圆,而不会变为抛物线或双曲线。
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发表于 2021-3-27 11:23:20 | 显示全部楼层
cs.png
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现在我们知道题目转化为给定正六边形内切圆和外接圆,我们寻找一个射影变换,要求将内切圆映射为自身并且将圆心映射为内切圆内部一点时,
如何使得外接圆的像的离心率最大。
假设这个映射将点G转为为G'点。由于我们总是可以将射影变换后的结果绕圆心G选择使得图绿色点1被映射为自身,而不改变目标蓝色椭圆的离心率,
我们总假设点1是映射的不动点,在这种假设下,G'将变成这个射影变换的唯一可调参数。
用Geogebra打开上面.ggb附件,将G'在内切圆内部移动,就可以看到蓝色目标曲线会发生变换。
我们可以发现(还没有证明),
性质1:GG'总是蓝色目标曲线的长轴
性质2:  GG'长度保持不变时,蓝色目标曲线的形状保持不变。
性质3:GG'长度增加时,蓝色目标曲线的离心率变大。

如果上面性质都成立,那我们只需要将G'沿着任意方向逼近内切圆,然后计算这时蓝色椭圆的离心率即可。
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发表于 2021-3-27 11:59:03 | 显示全部楼层
上面作图过程,1->1, G->G'  确定直线 1G->1G', 确定2->2'
于是2'切线和1的切线的交点H为水平方向无穷远方向的像。
另外GG'和22'的交点O为直线1G到1G'的透视变换中心,也就是直线1G上任意一点X,连接XO和1G'的交点X'就是X的像。S,T都在直线1G上,将它们分别和O连接交1G'得到像S',T'.
过G做水平线交内圆于3,4两点,于是直线34的像为G'H,交内圆于3'4'两点即34两点的像。
于是3'和4'两点处切线和1G'共同相交于V为垂直方向无穷远点的像。

分别设直线BC和AD分别和内圆交与5,6,7,8.于是58和67都是水平直线,分别交1G于U,W, 做U,W的像U',W'
于是HU',HW'分别交内圆于5',6',7',8'得出5,6,7,8的像。
连接5'6'交直线AB得到B的像B',交2'的切线于C'得C的像,连接7'8'交AB得到A的像A',交2'的切线于D'得D的像.
得到6个像S',T',A',B',C',D'后就可以确定蓝色目标曲线。
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发表于 2021-3-27 13:55:19 来自手机 | 显示全部楼层
发现外面的圆还是有可能被映射成双曲线的。把单位圆映射为自身,并且把圆心G映射为G',那么必然把另外一个圆内点G"映射为圆心G。所以当G"关于内圆的极线和外圆相交时,外圆和极线的交点会被映射为无穷远点,也就是外圆这时会是双曲线。
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发表于 2021-3-28 10:39:31 | 显示全部楼层
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cs.png
这个方案将内圆内一点G映射为圆心G',并且保持圆上点0不动,内圆上所有点映射到内圆。
为了做出外圆的像:
1) 0G=>0G' 得出1=>1'.
2)做0,1的切线交于H点得出H被映射为水平方向无穷远点
3)做G关于内圆的极线,于是知道此极线会被映射为无穷远直线
      于是极线和0G的交点V会被映射为垂直方向的无穷远点。
4) 任取内圆上点2,直线2H交0G于X, OX交0G'于X',于是X映射为X'。
    过X'做水平直线交内圆于2',于是直线2HX映射为2'X',所以2映射为2'.
5) 设2点切线交极线HV于F,于是任意过F点的直线的像与2'的切线平行。
6)对于动点P, 做PH交0G于$P_H$, $OP_H$交0G'于$P'_H$, 过$P'_H$做红色水平线。
7)设PF交0G于$P_F$,$OP_F$交0G'于$P'_F$, 过$P'_F$做2'切线的红色平行线,交过$P'_H$的红线于P'.
8)  0G交外圆于S,T, 分别连接OS,OT交0G'于S',T'.
9) 做P'关于点P的紫色轨迹,这个轨迹必然过点S',T',而且是圆锥曲线。
附件中的Geogebra文件中可以拖动G点,可以看到G点非常考虑内圆边界时,P'轨迹可以转化为双曲线。
2.png
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