五张牌的魔术

王守恩

五张牌的魔术

作者 | 大小吴
来源 | 大小吴的数学课堂

今天我们来和大家玩一个非常有趣的数学魔术。

1  魔术准备

●一位魔术师，一位助手;

●去掉大小王的标准扑克牌，数量为52张;

●数学.

2  魔术流程

魔术开始，随机选择一名观众并将扑克牌交给他，请他检查并打乱。随后要求这位观众在牌中随机抽取5张牌，并交给魔术师的助手，助手将其中4张牌按某种“顺序”依次交给魔术师（一次一张），魔术师拿到牌后将其平摊在桌面上，比如说是这四张：

黑桃J，梅花6，红桃2，方块9

然后便是见证奇迹的时刻——魔术师宣布，助手手中还未交出的第5张牌是黑桃K！随即助手翻开第5张牌，确实如此，魔术成功。

  

3  疑惑

注意！这个魔术没有请托，也没有对扑克牌动过任何手脚。你一定会很惊讶：魔术师是如何猜出第5张牌的？——因为整个洗牌、抽牌过程是完全随机的，没有任何规律可言。

  

其实，魔术的关键在于助手，他可以选择留下哪张牌，并决定另外4张牌递给魔术师的顺序，这为魔术师提供了足够的信息，让魔术师可以根据这些信息推断出第5张牌到底是哪一张。这个小把戏不过是运用到了一些数学原理，非常简单！来让我们一起看看是怎么回事吧。

4  魔术原理

由于助手有5张牌，而一副扑克牌只有4种花色，因此至少有两张牌有相同的花色（抽屉原理：假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素）。当然，也有可能观众抽取的5张牌中有3张、4张，甚至5张花色都相同，但这也并不影响魔术的实施，因为只要助手将花色相同的两张牌放在牌序的第1张和第5张，魔术师便能很容易地得知被助手藏起来第5张牌的花色了。

  

由于第1张是黑桃，所以第5张一定是黑桃，下一步便要确定到底是黑桃几了。魔术师是如何知道是黑桃K的呢？

这里我们定义一个概念——“扑克牌距离”。首先要将扑克牌全部转化为数字，令J=11，Q=12，K=13，A=1，那么两张牌的“扑克牌距离”可以用如下公式计算：

假设两张扑克牌对应数字为 a 和 b，当两张牌的数字之差的绝对值小于或等于 6，即 |a-b|≤6 时，定义两张牌的“扑克牌距离”为 d=|a-b|；

当两张牌的数字之差的绝对值大于 6，即 |a-b|>6 时，定义两张牌的“扑克牌距离”为 d=13-|a-b|。

比如说，黑桃2和黑桃K的“扑克牌距离”为 d=13-|2-13|=2。

实际上，如果我们把扑克牌按顺序放置在一个圆上，则“距离”代表的含义是由一张牌到另一张牌的最小步数。因为 2→A→K 只需要两步，故黑桃2和黑桃K的距离为2。由图易知，“扑克牌距离”最大不会超过6，比如A到7的距离为6（顺时针走），而不是7（逆时针走）。

  

有了这个概念，我们便可以继续完成魔术了，因为剩下的三张牌足以告诉魔术师第5张牌代表的数字是什么，你猜到该怎么做了吗？

  

要做到这一点，我们首先要根据某个规则对扑克牌中所有的牌进行排序：先按照花色排序，规则是黑、红、梅、方，即黑桃、红桃、梅花、方块，如果花色相同，则按照数字大小从小到大进行排序。比如：黑桃5<梅花2，梅花5<梅花10。

将剩下三张牌按规则排序后记为X、Y、Z。助手在递牌的时候，会产生6种可能的顺序：

1→｛X, Y, Z｝
2→｛X, Z, Y｝
3→｛Y, X, Z｝
4→｛Y, Z, X｝
5→｛Z, X, Y｝
6→｛Z, Y, X｝

这6种排序可以分别与数字1到6对应，因此助手在将牌递给魔术师时，只需让牌的顺序与相同花色的前后两张牌之间的距离的数值相对应，魔术师就能推算出那张牌对应的数字是几，从而也就知道了第5张牌到底是什么。

  

这里需要注意的是，由于扑克牌距离存在双向性（顺时针和逆时针），因此会产生两种情况（比如与2距离为2的牌有4和K两种），为了避免这种情况出现，我们可以提前规定第1张牌和需要被藏起来的牌之间的距离是只按顺时针计算的，什么意思呢？比如说，如果前后两张牌是黑桃K和黑桃2，那么助手就应该把黑桃K放在第一张，而黑桃2就是唯一一张按顺时针与K距离为2的牌（不考虑花色），这样就保证了解的唯一性。再比如，如果前后两张牌是黑桃Q和黑桃6，那么助手就应该把黑桃6放在第一张。

让我们用这个手法来实践一下最初的魔术吧，还是用之前5张牌：

黑桃J，黑桃K，梅花6，方块9，红桃2

有两张相同花色的牌，黑桃J在前面，黑桃K在后面，因此选择黑桃K藏起来，黑桃J和黑桃K的距离为2。剩下三张牌按规则排序为{X, Y, Z}={红桃2, 梅花6, 方块9}，为了得到2，助手应该按{X, Z, Y}={红桃2, 方块9, 梅花6}的顺序将牌递给魔术师，因为{X, Z, Y}对应的数字为2，那么魔术就知道被藏起来的牌与黑桃J之间的距离是2，因此将黑桃J按顺时间方向数2，就得到黑桃K。

参考文献

[1]（美）马克·钱伯兰.数字乾坤[M].唐璐译.湖南科学技术出版社，2020.

王守恩

  5张扑克牌(主帖)
魔术开始，随机选择一名观众并将扑克牌交给他，请他检查并打乱。随后要求这位观众在牌中随机抽取5张牌，并交给魔术师的助手，
助手将其中4张牌按某种“顺序”依次交给魔术师(一次一张)，魔术师拿到牌后将其平摊在桌面上，比如说是这四张：黑桃J,梅花6,红桃2,方块9
然后便是见证奇迹的时刻——魔术师宣布，助手手中还未交出的第5张牌是黑桃K！随即助手翻开第5张牌，确实如此，魔术成功。
  5张扑克牌
魔术开始，随机选择一名观众并将扑克牌交给他，请他检查并打乱。随后要求这位观众在牌中随机抽取5张牌(第1张牌在观众手中，助手可以看)，
并交给魔术师的助手4张牌，助手将其中4张牌平摊在桌面上，比如说是这四张：黑桃J，梅花6，红桃2，方块9
然后便是见证奇迹的时刻——魔术师宣布，观众手中还未交出的第5张牌是黑桃K！随即助手翻开第5张牌，确实如此，魔术成功。
  4张扑克牌
魔术开始，随机选择一名观众并将扑克牌(去掉大小王的标准扑克牌，数量为52张)交给他，请他检查并打乱。随后要求这位观众在牌中随机抽取4张牌，
并交给魔术师的助手，助手将其中3张牌平摊在桌面上，比如说是这3张：黑桃J，梅花6，红桃2，
然后便是见证奇迹的时刻——魔术师宣布，助手手中还未交出的第4张牌是黑桃K！随即助手翻开第4张牌，确实如此，魔术成功。
  3张扑克牌
魔术开始，随机选择一名观众并将扑克牌(去掉大小王的标准扑克牌，数量为52张)交给他，请他检查并打乱。随后要求这位观众在牌中随机抽取3张牌，
并交给魔术师的助手，助手将其中2张牌平摊在桌面上(可能不摊在一起了)，比如说是这2张：黑桃J，梅花6，
然后便是见证奇迹的时刻——魔术师宣布，助手手中还未交出的第3张牌是黑桃K！随即助手翻开第3张牌，确实如此，魔术成功。
  2张扑克牌
魔术开始，随机选择一名观众并将扑克牌(去掉大小王的标准扑克牌，数量为52张)交给他，请他检查并打乱。随后要求这位观众在牌中随机抽取2张牌，
并交给魔术师的助手，助手将其中1张牌平摊在桌面上(可以挪动(最多2次))，比如说是这1张：黑桃J，
然后便是见证奇迹的时刻——魔术师宣布，助手手中还未交出的第2张牌是黑桃K！随即助手翻开第2张牌，确实如此，魔术成功。
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猫腻很多的。