数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 212|回复: 7

[转载] 小狗过河

[复制链接]
发表于 2021-3-29 18:40:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
看有没有简单方法
QQ图片20210329182717.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-30 08:01:52 | 显示全部楼层
以河水为参考物,视人以-w(水速)常速移动,于是狗以恒速v向着人的方向移动。
设人的初始位置为原点,所在岸线为Y轴,水流方向为正向,狗的初始位置为$(a,0)$,
设 t 时刻人-狗连线的倾角为$\theta$,狗的位置为(x,y). 显然人的位置为$(0, y-x\tan\theta)$, 狗一直向着人移动,所以$\frac{dy}{dt}=-v\sin\theta, \frac{dx}{dt}=-v\cos\theta$
于是$\frac{d(y-x\tan\theta)}{dt}=-w$,得出
于是我们有$x\frac{d\theta}{dt}=w\cos^2\theta$
\(\begin{cases}x\frac{d\theta}{dt}=w\cos^2\theta\\\frac{dx}{dt}=-v\cos\theta\end{cases}\)
第二式除以第一式得出$\frac{w}{v}\frac{dx}{x}=-\frac{d\sin\theta}{1-\sin^2\theta}$
于是得出$x=a(\frac{1-\sin(\theta)}{1+\sin(\theta)})^{\frac{v}{2w}$
题目数据是设计好的,当$x=a/3$时,$\sin\theta=\frac{w}{v}$, 凑巧可得$\sin\theta=1/2$, 所以$w=v/2=1$公里/小时
代回去得  $x/a=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$
将$x\frac{d\theta}{dt}=w\cos^2\theta$代入得到$\frac{d\theta}{dt}=\frac{w}{a}(1+\sin\theta)^2$
解得 $\frac{w}{a}t-1/3=\frac{3\sin\frac{\theta}2-\cos\frac{3\theta}{2}}{3(\sin\frac{\theta}2+\cos\frac{\theta}2)^3}$
结束时 $\theta=\frac{pi}2$, 代入得结束时间为$ t_e = \frac{4a}{3v}$, 而静水穿越的时间为$\frac{a}{v}$,得出$\frac{a}{v}$为15分钟,所以河宽0.5公里

dog.png
dog.ggb (25.1 KB, 下载次数: 2)

点评

以水为参照物好  发表于 2021-3-31 00:26
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-3-30 16:51:58 | 显示全部楼层
^-^
1617094092180.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
回复

使用道具 举报

发表于 2021-3-30 17:40:51 | 显示全部楼层
普通物理中变速运动章节经典考试题。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-5 00:00:46 | 显示全部楼层

为什么过河时间这样求?

点评

河宽的微小单元除以速度然后积分  发表于 2021-4-7 09:38
河宽除以速度分量  发表于 2021-4-7 09:35
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-4-15 18:58 , Processed in 0.062588 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表