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[提问] 关于费马小定理的探索

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发表于 2021-3-31 08:53:43 | 显示全部楼层 |阅读模式

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由费马小定理知道,对于任意奇质数$p$,都有$2^{p-1}\equiv 1 mod p$,问是否存在合数$n$,使得$2^{n-1}\equiv 1 mod n$成立?如果存在,请找出$n$的充要条件。如果不存在,请说明理由。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-31 09:20:40 | 显示全部楼层
伪素数听过吗?
341
2047
都是这样的合数

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听过,这种能推出来么?  发表于 2021-3-31 10:37
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-31 09:20:59 | 显示全部楼层
不要问虫咬条件,没人知道

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弱一点的也可以,或者说找一个最小的也行。  发表于 2021-3-31 10:36
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-1 10:34:44 | 显示全部楼层
简单点,利用 \(\D a^\frac{n-1}{2}\equiv\left(\frac{a}{n}\right)\pmod{n}\),随机选个十几个 \(a\) 就可以了
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发表于 2021-4-2 07:52:47 | 显示全部楼层
341就是2情况下的最小值。然后是561,645等等。
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发表于 2021-4-3 20:41:00 | 显示全部楼层
这种数,叫基2伪素数,同理有基n伪素数
还有满足米勒罗宾测试的基2强伪素数
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-3 20:47:22 | 显示全部楼层
更进一步的,假设\(p\)是素数,\(d\)是无平方因子的整数,\((\frac{d}{p})=-1\), 是雅克比符号,\(a, b\)是整数
则有
\( (a + b \sqrt{d})^p = a - b\sqrt{d}, (mod \space p)\)
这是二次域下的费马小定理
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-4-5 09:00:59 | 显示全部楼层
无心人 发表于 2021-4-3 20:47
更进一步的,假设\(p\)是素数,\(d\)是无平方因子的整数,\((\frac{d}{p})=-1\), 是雅克比符号,\(a, b\)是 ...

请问怎么证明呀?

点评

找代数数论的书  发表于 2021-4-5 15:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-4-5 09:13:17 | 显示全部楼层
无心人 发表于 2021-4-3 20:47
更进一步的,假设\(p\)是素数,\(d\)是无平方因子的整数,\((\frac{d}{p})=-1\), 是雅克比符号,\(a, b\)是 ...

你的这个与lucas判别法有什么区别?

点评

lucas伪素数很多  发表于 2021-4-5 15:09
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