关于费马小定理的探索

rayfekeeper · 发表于 2021-3-31 08:53:43

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由费马小定理知道，对于任意奇质数$p$，都有$2^{p-1}\equiv 1 mod p$，问是否存在合数$n$，使得$2^{n-1}\equiv 1 mod n$成立？如果存在，请找出$n$的充要条件。如果不存在，请说明理由。

mathematica · 发表于 2021-3-31 09:20:40

伪素数听过吗？
341
2047
都是这样的合数

mathematica · 发表于 2021-3-31 09:20:59

不要问虫咬条件，没人知道

mathematica · 发表于 2021-4-1 10:34:44

简单点，利用 $\D a^\frac{n-1}{2}\equiv\left(\frac{a}{n}\right)\pmod{n}$，随机选个十几个 $a$ 就可以了

ShuXueZhenMiHu · 发表于 2021-4-2 07:52:47

341就是2情况下的最小值。然后是561，645等等。

无心人 · 发表于 2021-4-3 20:41:00

这种数，叫基2伪素数，同理有基n伪素数
还有满足米勒罗宾测试的基2强伪素数

无心人 · 发表于 2021-4-3 20:47:22

更进一步的，假设$p$是素数，$d$是无平方因子的整数，$(\frac{d}{p})=-1$, 是雅克比符号，$a, b$是整数
则有
$ (a + b \sqrt{d})^p = a - b\sqrt{d}, (mod \space p)$
这是二次域下的费马小定理

mathematica · 发表于 2021-4-5 09:00:59

无心人发表于 2021-4-3 20:47
更进一步的，假设$p$是素数，$d$是无平方因子的整数，$(\frac{d}{p})=-1$, 是雅克比符号，$a, b$是 ...

请问怎么证明呀？

mathematica · 发表于 2021-4-5 09:13:17

无心人发表于 2021-4-3 20:47
更进一步的，假设$p$是素数，$d$是无平方因子的整数，$(\frac{d}{p})=-1$, 是雅克比符号，$a, b$是 ...

你的这个与lucas判别法有什么区别？

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