用加号对折整数

majer

/*下面的文字是以前为泛科普平台写的小文，删了部分废话。问题本身不是我提出来的，我只是偶尔看到这个问题，稍微收集了点资料。所以不是原创，但也不能算转载吧*/

任给一串自然数，比如 3028410951715。
先在数字中间塞进 1 个加号“+”，运算结果得一串新的数字，称为 1 次对折。
再将对折结果进行对折，不断迭代，直到得到一个 个位数，称之为 对折完毕。
比如：3028410951715(插入+) → 30284+10951715 = 10981999(插入+) → 1098 + 1999 = 3097，
继续，3 + 097 = 100，1 + 00 = 1。对折完毕。

现在用a(n)表示至少n次才能对折完毕的 最小整数。
显而易见的，a(1)=10，a(2)= 19，……

a(n)在在线整数数列查询网站上为A293929，是最近几年相对较火的趣味数学课题。
关于a(n)有一个未被解决的猜想：$a(n) ≤((a(n-1)-1)^2)/3 + a(n-2)$。

majer

a(3)=118
a(4)=3187
a(5)=3014173
a(6)=3003344034004

增长还是蛮快的。
有兴趣和条件的朋友可以继续往下算算更多的项，并估计一下增长模式，指数式，还是双重指数式。
肯定不是多项式。

观察发现，对于 n<5，a(n+1)对折为a(n)。但对于 n=5 不再成立。
这个递推关系不成立，是计算的难点之一。

hujunhua

即使对于 n<5, a(n+1)要 n+1 次对折完毕，也不是必须 对折为 a(n).

比如 a(4)可以经过 3187->3+187=190->19+0=19->1+9=10->1+0=1,
                                                      ->1+90=91->9+1=10

hujunhua

从上述链接中的信息来看，对折可以扩展为多折，也就是一次塞入多个加号，只是每个加号仍然要计一折。
即使在扩展定义下，似乎仍然 a(n) 不变，只是折叠路线多变。
比如，a(3)可以经过118->1+1+8=10->1+0=1。
         a(4)可以经过3187->3+18+7=28->2+8=10->1+0->1

王守恩

我们先把这个表格填一填？

           1位数  2位数  3位数  4位数  5位数  6位数  7位数  8位数  9位数
0个加号   9        0         0       0         0         0       0         0        0     
1个加号   0       45       45      45       45       45      45       45       45     
2个加号   0       45      000   000      000     000    0000   0000    0000
3个加号   0       0       000    000     000     000    0000    0000    0000
4个加号   0       0        0      000     000     000     0000   0000    0000
5个加号   0       0        0       0         0         0      5074   0000    0000
6个加号   0       0        0       0         0         0        0         0         0

王守恩

王守恩 发表于 2021-4-3 10:55
我们先把这个表格填一填？

           1位数  2位数  3位数  4位数  5位数  6位数  7位数  8位数  9位数 ...

我们先把这个表格填一填。

4个加号的4位数有203个，对么？

001，3187
002，3286
003，3385
004，3484
005，3583
006，3682
007，3781
008，3880
009，4177
010，4186
011，4276
012，4285
013，4375
014，4384
015，4474
016，4483
017，4573
018，4582
019，4672
020，4681
021，4771
022，4780
023，4870
024，5167
025，5176
026，5185
027，5266
028，5275
029，5284
030，5365
031，5374
032，5383
033，5464
034，5473
035，5482
036，5563
037，5572
038，5581
039，5662
040，5671
041，5680
042，5761
043，5770
044，5779
045，5860
046，6157
047，6166
048，6175
049，6184
050，6256
051，6265
052，6274
053，6283
054，6355
055，6364
056，6373
057，6382
058，6454
059，6463
060，6472
061，6481
062，6553
063，6562
064，6571
065，6580
066，6652
067，6661
068，6670
069，6679
070，6751
071，6760
072，6769
073，6778
074，6850
075，7147
076，7156
077，7165
078，7174
079，7183
080，7246
081，7255
082，7264
083，7273
084，7282
085，7345
086，7354
087，7363
088，7372
089，7381
090，7444
091，7453
092，7462
093，7471
094，7480
095，7543
096，7552
097，7561
098，7570
099，7579
100，7642
101，7651
102，7660
103，7669
104，7678
105，7741
106，7750
107，7759
108，7768
109，7777
110，7840
111，8137
112，8146
113，8155
114，8164
115，8173
116，8182
117，8236
118，8245
119，8254
120，8263
121，8272
122，8281
123，8335
124，8344
125，8353
126，8362
127，8371
128，8380
129，8434
130，8443
131，8452
132，8461
133，8470
134，8479
135，8533
136，8542
137，8551
138，8560
139，8569
140，8578
141，8632
142，8641
143，8650
144，8659
145，8668
146，8677
147，8731
148，8740
149，8749
150，8758
151，8767
152，8776
153，8830
154，9127
155，9136
156，9145
157，9154
158，9163
159，9172
160，9181
161，9226
162，9235
163，9244
164，9253
165，9262
166，9271
167，9280
168，9325
169，9334
170，9343
171，9352
172，9361
173，9370
174，9379
175，9424
176，9433
177，9442
178，9451
179，9460
180，9469
181，9478
182，9523
183，9532
184，9541
185，9550
186，9559
187，9568
188，9577
189，9622
190，9631
191，9640
192，9649
193，9658
194，9667
195，9676
196，9721
197，9730
198，9739
199，9748
200，9757
201，9766
202，9775
203，9820