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[求助] 求解一道方程

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发表于 2021-4-5 21:11:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求满足条件 $x^y=y^z=z^x$,且x,y,z互不相等的x,y,z

我好像能证明不存在实数解,但感觉不是很严谨(新人第一次发帖还不会LeTex)

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-6 08:26:59 | 显示全部楼层
由于底数为负数时,定义是不完整的,我们仅考虑x,y,z都非负的情况。而且0和1显然可以提前淘汰。
而且显然,x,y,z中一个数小于1,其余的也都小于1;任意一个大于1,其余的也必须大于1才有可能。
i)我们考虑x,y,z都大于1的情况
由于x,y,z轮换对称,不妨假设x是三个数最小的一个。即$x<y,x<z$
于是$y^z=x^y<y^y$,所以我们得出$z<y$,即$x<z<y$.所以$z^x<y^x<y^z$,同$z^x=y^z$矛盾。
ii)我们考虑x,y,z都大于1的情况
由于x,y,z轮换对称,不妨假设x是三个数最小的一个。即$x<y,x<z$
$y^z=x^y<y^y$,所以我们得出$z>y$,即$x<y<z$. 所以$z^x>y^x>y^z$,同$z^x=y^z$矛盾。
所以没有正实数解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-6 08:34:41 | 显示全部楼层
但是如果我们允许x,y,z中存在负数,其实是有解的(但是出现一个负数,对应的指数就只能取有理数了),
比如取x=-1.2688595256301206133723148090809261257, y=2, z=0.68706471693229331578432281803820314965
于是$x^y=y^z=z^x=1.610004495782294709749660020998481461$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-4-6 18:50:18 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-4-6 08:26
由于底数为负数时,定义是不完整的,我们仅考虑x,y,z都非负的情况。而且0和1显然可以提前淘汰。
而且显然 ...

回去看了一下我的证明,确实只能证明不存在正实数解(负数的情况没有考虑)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-4-6 19:00:55 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2021-4-6 08:34
但是如果我们允许x,y,z中存在负数,其实是有解的(但是出现一个负数,对应的指数就只能取有理数了),
比如 ...

算出来的解居然是有理数。。。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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