求解一道方程

rfsfreffr

求满足条件 $x^y=y^z=z^x$，且x，y，z互不相等的x,y,z

我好像能证明不存在实数解，但感觉不是很严谨（新人第一次发帖还不会LeTex）

mathe

由于底数为负数时，定义是不完整的，我们仅考虑x,y,z都非负的情况。而且0和1显然可以提前淘汰。
而且显然，x,y,z中一个数小于1，其余的也都小于1；任意一个大于1，其余的也必须大于1才有可能。
i)我们考虑x,y,z都大于1的情况
由于x,y,z轮换对称，不妨假设x是三个数最小的一个。即$x<y,x<z$
于是$y^z=x^y<y^y$,所以我们得出$z<y$,即$x<z<y$.所以$z^x<y^x<y^z$,同$z^x=y^z$矛盾。
ii)我们考虑x,y,z都大于1的情况
由于x,y,z轮换对称，不妨假设x是三个数最小的一个。即$x<y,x<z$
$y^z=x^y<y^y$,所以我们得出$z>y$,即$x<y<z$. 所以$z^x>y^x>y^z$,同$z^x=y^z$矛盾。
所以没有正实数解。

mathe

但是如果我们允许x,y,z中存在负数，其实是有解的(但是出现一个负数，对应的指数就只能取有理数了)，
比如取x=-1.2688595256301206133723148090809261257, y=2, z=0.68706471693229331578432281803820314965
于是$x^y=y^z=z^x=1.610004495782294709749660020998481461$

rfsfreffr

mathe 发表于 2021-4-6 08:26
由于底数为负数时，定义是不完整的，我们仅考虑x,y,z都非负的情况。而且0和1显然可以提前淘汰。
而且显然 ...

回去看了一下我的证明，确实只能证明不存在正实数解（负数的情况没有考虑）

rfsfreffr

mathe 发表于 2021-4-6 08:34
但是如果我们允许x,y,z中存在负数，其实是有解的(但是出现一个负数，对应的指数就只能取有理数了)，
比如 ...

算出来的解居然是有理数。。。