可能是涉及表盘指针运动的问题里最有趣和最难的一个

majer

前几天看到了一个十分有意思的问题。个人花了很多时间，又在mathoverflow搜了下相关问题，才想出解答。

在此和大家分享一下。

现在有一个完美的表盘。里面的时针分针秒针，都精准平滑地转动。已知，三个指针的长度都是标准厘米的整数倍，但不一定相等。

同时，0点和12点时刻，三指针共线。（并非说就这两个时刻共线，特意提一下，是因为这个相当于边界条件；校准起始点。）

试问：是否存在某个时刻，三个指针的尖端（看成是理想的几何点），可以组成一个正三角形。

.·.·.

目测只有特殊长度可以（或许都不可以？？）

比如秒针特别长而时针分针特别短的情况下，你就算把表拆了也得不到正三角形

特殊长度的话，大概是余弦定理解方程吧

mathe

关键的问题在于针的长度为整数，或者说有理数。假设旋转中心为O,三个指针顶点分别为A,B,C.

时针12小时一圈，分针1小时一圈，秒钟一小时60圈，所以角速度比为1:12:720.
如果改为以时针为参考系，那么时针不懂，分针角速度为11，秒针角速度为719.
所以可以假设时分秒针长度分别为整数a,b,c，某个时刻变为正三角形时分针和时针夹角为$11\alpha$,分针和秒针夹角为$708\alpha$
由余弦定理得到$a^2+b^2-2ab\cos(11\alpha) = b^2+c^2-2bc\cos(708\alpha) = c^2+a^2-2ca \cos(719\alpha)$

如果我们反过来先任意给定$\alpha$，并且指定a=1,然后保持三角形ABC为等腰三角形的过程中（让AB=AC)来不断的增加b,c的长度，所以只要$/_BOC$大于60度小于180度的情况下，必然有某一个时刻$/_BAC$会正好等于60度，这时三角形会转化为正三角形。而为一的问题时对于哪些$\alpha$（或者是否存在）,这时b,c的长度都为有理数。

王守恩

记正三角形边长为 x，时,分,秒针长度为整数 a,b,c， 则

\(\D x^2=\frac{a^2+b^2+c^2+\sqrt{3(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)\ \ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ }{2}\)