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[分享] 谁能找到对“扰动”敏感的质数?

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发表于 2021-4-8 23:13:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1978年,数学家Murray Klamkin想知道是否存在这样一种对“扰动”敏感的素数。

一个素数,它任意数位上的数字被随意改动,就会得到一个合数。 Klamkin将它命名为数位敏感型素数。

比如说13就不敏感,因为十位数换成2,就是23。而505447则是敏感的,它的任何一个数字被改动,都会得到一个合数。

Paul Erdős不仅用简短的篇幅证明了它们确实存在,而且还证明了它们的数量是无限的——结果不仅适用于十进制,而且适用于任何进制系统。

Erdős:Solution to problem 1029,提取码: 9amf (arxiv.org上没有的论文,我只能存到网盘分享;而百度网盘永久分享貌似必须加密并使用提取码,可能是百度为了规避某些风险吧)

此后,其他数学家又扩展了Erdős的结果,包括菲尔兹奖章获得者Terence Tao——他在2011年的一篇论文里证明,数位敏感质数在质数中的密度是正的。
陶哲轩的论文

疫情期间,南卡罗来纳大学的Michael Filaseta(以及合著者)连发两篇论文。扩展了敏感素数的定义。

第一篇论文里(提取码 yg5y),他提出了广义的敏感素数。他给每个素数前面添加无限的0,如此以来,广义敏感素数不但要求,自身各个数字一改动就成合数,而且,那无限个0,只要任意一个被改动,也要变成合数。显而易见,广义敏感素数更加难以寻找。实际上,大量搜索都以失败告终,Filaseta至今也未能找到一个具体的例子。

"294001是数位敏感的,但不是广义敏感的。"Pollack说,"因为如果我们把......000294001改为......010294001,我们就会得到10294001——另一个质数。”

但是,他和助手证明:广义素数是存在的,而且是无限多的。

甚至在之后的一篇论文里https://arxiv.org/pdf/2101.08898.pdf,他进一步指出,存在任意长的连续质数序列,序列每一项都是广义敏感的。

目前虽然还看不出这种敏感素数有何理论价值——当然上面几篇论文,具有非常高的审美价值——但找到一个具体的广义敏感应该也属于当前世界级的发现。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-4-9 16:49:53 | 显示全部楼层
广义敏感
等价于,10^k<p<10^(K+1)是敏感素数
则对任意n>0, n*10^(k+1) + p是合数
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