谁能找到对“扰动”敏感的质数？

majer

1978年，数学家Murray Klamkin想知道是否存在这样一种对“扰动”敏感的素数。

一个素数，它任意数位上的数字被随意改动，就会得到一个合数。 Klamkin将它命名为数位敏感型素数。

比如说13就不敏感，因为十位数换成2，就是23。而505447则是敏感的，它的任何一个数字被改动，都会得到一个合数。

Paul Erdős不仅用简短的篇幅证明了它们确实存在，而且还证明了它们的数量是无限的——结果不仅适用于十进制，而且适用于任何进制系统。

Erdős：Solution to problem 1029，提取码: 9amf （arxiv.org上没有的论文，我只能存到网盘分享；而百度网盘永久分享貌似必须加密并使用提取码，可能是百度为了规避某些风险吧）

此后，其他数学家又扩展了Erdős的结果，包括菲尔兹奖章获得者Terence Tao——他在2011年的一篇论文里证明，数位敏感质数在质数中的密度是正的。
陶哲轩的论文

疫情期间，南卡罗来纳大学的Michael Filaseta（以及合著者）连发两篇论文。扩展了敏感素数的定义。

在第一篇论文里（提取码 yg5y），他提出了广义的敏感素数。他给每个素数前面添加无限的0，如此以来，广义敏感素数不但要求，自身各个数字一改动就成合数，而且，那无限个0，只要任意一个被改动，也要变成合数。显而易见，广义敏感素数更加难以寻找。实际上，大量搜索都以失败告终，Filaseta至今也未能找到一个具体的例子。

"294001是数位敏感的，但不是广义敏感的。"Pollack说，"因为如果我们把......000294001改为......010294001，我们就会得到10294001——另一个质数。”

但是，他和助手证明：广义素数是存在的，而且是无限多的。

甚至在之后的一篇论文里https://arxiv.org/pdf/2101.08898.pdf，他进一步指出，存在任意长的连续质数序列，序列每一项都是广义敏感的。

目前虽然还看不出这种敏感素数有何理论价值——当然上面几篇论文，具有非常高的审美价值——但找到一个具体的广义敏感应该也属于当前世界级的发现。

无心人

广义敏感
等价于，10^k<p<10^(K+1)是敏感素数
则对任意n>0， n*10^(k+1) + p是合数