找到了80年前提出的“单位猜想”的反例

majer

2月22日，名叫Giles Gardam的数学博士后在YouTube上直播了一个小时，讨论代数领域里的单位猜想——至今已有80多年的历史了。

这哥们拉拉杂杂讲了一个多小时的历史，然后在下播前最后几分钟，淡定地说：关于这个猜想，有一个最新进展，我构造出了一个反例，说明猜想不成立。你们没想到吧

当时的听众纷纷让他详细讲讲，但 Gardam 拒绝了，他认为他的方法还有挖掘潜力，可以解决其他的问题。等过几个月再慢慢分享给大家。

唯一确定的就是，他先想出了反例必须遵循的特征，然后用计算机检索由特定三维晶体形状的对称性（Hantzsche-Wendt群）建立的群代数内符合这一特征的元素。

猜想的意思大概是说，给乘法群的元素赋予加法运算，如a，b，c∈群G，把形如a+7b+5c的元素，构成一个新的群或半群。单位猜想预测，只有G里存在一个元素r，使对某自然数n，r^n=1时，则像前面那种由G里元素线性表示出来的新元素，才有可能存在乘法逆元。

而Hantzsche-Wendt群里面恰好不存在如r那样幂1的元素。不过可惜Hantzsche-Wendt群是无限的。并且在2010年，有两位数学家证明，如果群中存在反例，那么它肯定特别复杂。

虽然寻找过程十分艰难，但事后检验却很简单。只要把反例直接相乘，看能否得到单位元1就行。

现在，Gardam在由Hantzsche-Wendt群元素构成的代数结构中，找到了两个具有21个项的乘法逆。

论文：https://arxiv.org/abs/2102.11818

单位猜想（ Unit Conjecture）与零除数（Zero Divisor）和幂（Idempotent）猜想合称为卡普兰斯基猜想（Kaplansky Conjectures）。

来源 https://www.quantamagazine.org/m ... onjecture-20210412/