关于垂心四面体的一个恒等式

lihpb01 · 发表于 2021-4-25 21:46:32

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本帖最后由 lihpb01 于 2021-4-25 21:52 编辑

四面体A₁A₂A₃A₄为垂心四面体，垂心H位于四面体的内部。
A₁、A₂、A₃、A₄所对的底面面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，
平面A_iA_jH与A_iA_j的对棱A_kA_l交于H_ij，
三角形A_iA_jH的面积表为T_ij，三角形A_iA_jH_ij的面积表为U_ij，

显然有下面的恒等式

但这个恒等式的只是局限于垂心H在四面体A₁A₂A₃A₄的内部才成立，假设H在四面体的外部这个恒等式要怎么变形，求给出证明。

lihpb01 · 发表于 2021-4-25 21:48:39

本帖最后由 lihpb01 于 2021-4-25 21:55 编辑

反过来，假设这个恒等式成立，能否证明四面体A₁A₂A₃A₄为垂心四面体，且H为垂心

假如H不为垂心，则该四面体左边各侧面积平方和与右边2T_ijU_ij的求和，哪边大哪边小

creasson · 发表于 2021-4-27 09:28:01

垂心以及垂心的几何量(面积或距离平方)的表示均是各顶点或棱长平方的有理形式，因此如果结论成立，利用重心坐标是可以给出一个证明的，只是过程可能有点繁琐。

lihpb01 · 发表于 2021-4-27 22:02:30

一楼恒等式的证明非常简单，重心坐标都不需要。问题是当垂心位于四面体外部的时候，这个恒等式要怎么证明，以及当恒等式成立时能否判断出H为垂心。

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