求通项公式

aimisiyou

推算出结果为\( a_i=\frac{i^2-i-10}{2}+\frac{8+4i}{2^i},i\ge2\)

王守恩

aimisiyou 发表于 2021-5-15 21:01
推算出结果为\( a_i=\frac{i^2-i-10}{2}+\frac{8+4i}{2^i},i\ge2\)

我们来给分子找个通项？
1, 10, 47, 168, 521, 1482, 3979, 10252, 25613, 62478, 149519,

aimisiyou

王守恩 发表于 2021-5-16 08:54
我们来给分子找个通项？
1, 10, 47, 168, 521, 1482, 3979, 10252, 25613, 62478, 149519,

不是已经出来了么？我更好奇的是，如果得出的结果函数多次带入递归，即\(a_{i+1}=\frac {\frac{i^2-i-10}{2}+\frac{8+4i}{2^i}+a_{i}}{2},i\ge3且a_3=0,求a_{n}?\)

northwolves

$a_{i+1}=\frac{i^2+3i-10}{4}+\frac{1}{2^{i-1}}+\frac{1}{2}a_{i}$

$=\frac{2i(i+1)-i*(i-1)-10(2-1)}{4}-\frac{(i+1)-i}{2^{i-1}}+\frac{1}{2}a_{i}$

$a_{i+1}-\frac{2i(i+1)-20}{4}-\frac{i+1}{2^{i-1}}=\frac{1}{2}(a_{i}-\frac{2i(i-1)-20}{4}-\frac{i}{2^{i-2}})$

令$b_{i}=a_{i}-\frac{2i(i-1)-20}{4}-\frac{i}{2^{i-2}}$

则$b_{2}=0-\frac{2*(2-1)-20}{4}-\frac{2}{2^{2-2}}=\frac{1}{2}$,$b_{n}=\frac{1}{2}b_{n-1}=...=\frac{1}{2^{n-1}$

代入 $a_{n}-\frac{2n(n-1)-20}{4}-\frac{n}{2^{n-2}}=\frac{5}{2^{n-1}$

$a_{n}=\frac{n+2}{2^{n-2}}+\frac{n^2-n-10}{2}$

northwolves

aimisiyou 发表于 2021-5-16 11:26
不是已经出来了么？我更好奇的是，如果得出的结果函数多次带入递归，即\(a_{i+1}=\frac {\frac{i^2-i-1 ...

也是拆分每一项，构建等比数列

王守恩

王守恩 发表于 2021-5-16 08:54
我们来给分子找个通项？
1, 10, 47, 168, 521, 1482, 3979, 10252, 25613, 62478, 149519,

我们来给分子找个通项？
1, 10, 47, 168, 521, 1482, 3979, 10252, 25613, 62478, 149519,......

1，Table[(n ^2 + n - 10)*2^(n - 2) + n + 3, {n, 2, 28}]
{1, 10, 47, 168, 521, 1482, 3979, 10252, 25613, 62478, 149519, 352272, 819217,
1884178, 4292627, 9699348, 21757973, 48496662, 107479063, 236978200, 520093721,
1136656410, 2474639387, 5368709148, 11609833501, 25031606302, 53821308959}

2，LinearRecurrence[{8, -25, 38, -28, 8}, {1, 10, 47, 168, 521}, 27]
{1, 10, 47, 168, 521, 1482, 3979, 10252, 25613, 62478, 149519, 352272, 819217,
1884178, 4292627, 9699348, 21757973, 48496662, 107479063, 236978200, 520093721,
1136656410, 2474639387, 5368709148, 11609833501, 25031606302, 53821308959}

3，RecurrenceTable[{a[n]=8a[n-1]-25a[n-2]+38a[n-3]-28a[n-4]+8a[n-5],a[1]=1,a[2]=10,a[3]=47,a[4]=168,a[5]=521},a,{n,27}]
{1, 10, 47, 168, 521, 1482, 3979, 10252, 25613, 62478, 149519, 352272, 819217,
1884178, 4292627, 9699348, 21757973, 48496662, 107479063, 236978200, 520093721,
1136656410, 2474639387, 5368709148, 11609833501, 25031606302, 53821308959}

(2)与(3)的关系是显然的，问题：(1)与(2)是怎么扯上关系的？
更一般地，(1)与(2)之间可以有通项吗？！

northwolves

$a_{n}= (n^2+3n-8)*2^(n-1)+n+4$