求AB+AC+AD的最小值

王守恩 · 发表于 2021-5-15 09:56:42

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三角形ABC的∠A=135°，D是BC边上的点，DB=3，DC=5。
求AB+AC+AD的最小值。

aimisiyou · 发表于 2021-5-15 18:15:18

除了用数值解法，似乎没啥好纯几何做法。当A无限趋近于B时，总长为0+8+3=11.

hujunhua · 发表于 2021-5-18 08:18:22

如图，A在一段1/4圆弧上滑动。由于AB+AC互补，所以在滑动过程中值的变化幅度不大，大幅变化来自AD。
所以最小值应在AD垂直于圆弧的点附近，也就是AD通过弧心O的位置附近。
AB+AC以A在弧中点最大，向两侧变小，所以AB+AC+AD的驻点应在上述垂直位置略偏B。
捕获.PNG

lsr314 · 发表于 2021-5-19 14:39:31

hujunhua 发表于 2021-5-18 08:18
如图，A在一段1/4圆弧上滑动。由于AB+AC互补，所以在滑动过程中值的变化幅度不大，大幅变化来自AD。
所以 ...

最小值大概是10.1172，在∠AOB=28.6201°的时候。

hujunhua · 发表于 2021-5-19 16:21:39

lsr314 发表于 2021-5-19 14:39
最小值大概是10.1172，在∠AOB=28.6201°的时候。

AD通过弧心时，∠AOB=45°-arctan(1/4)=30.963756532°
所以驻点位置与之相比向B侧偏离了2.3436°，不算太远。

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