初中题，求直角三角形斜边的长度

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初中题，求直角三角形斜边的长度

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1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. ans=Solve[ArcTan[x/7]/3==ArcTan[x/(7+8)]/2&&x^2+(7+8)^2==y^2&&x>0&&y>0,{x,y}]
   

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求解结果
\[\left\{\left\{x\to 5 \sqrt{7},y\to 20\right\}\right\}\]

mathematica

mathematica 发表于 2021-5-31 13:08
求解结果
\[\left\{\left\{x\to 5 \sqrt{7},y\to 20\right\}\right\}\]

用正弦定理列方程组也能解决，但是感觉解方程组很难！

hejoseph

总是用软件来代替自己的思考当然很多事情会觉得难了。
就用一下正弦定理吧，$7$ 和 $8$ 之间的那条斜边设为 $x$，最右边的三角形由正弦定理得\[
\frac{x}{\sin 2\alpha}=\frac{8}{\sin\alpha}
\]求得\[
x=16\cos\alpha
\]另外由最右边的直角三角形得\[
x\cos 3\alpha=7
\]而\[
x\cos 3\alpha=16\cos\alpha\cos 3\alpha=8(\cos 4\alpha+\cos 2\alpha)=16\cos^2 2\alpha+8\cos 2\alpha-8
\]即得方程\[
16\cos^2 2\alpha+8\cos 2\alpha-15=0
\]解这个方程得\[
\cos 2\alpha=\frac{3}{4}
\]因此所求长度即\[
\frac{7+8}{\cos 2\alpha}=20
\]

creasson

给个另类解法：
三角形ABC，如果给定两个角B,C，记$z = e^{iB},w = e^{iC}$，那么A点可表示为: $ A = B + \frac{\left(1 - w^2 \right)z^2}{\left( 1 - w^2z^2 \right)}\left( C - B \right)$
回到本题，若令$w = e^{i\alpha }$, 即有：$\frac{w^6 - 1}{w^6 + 1}7 = \frac{w^4- 1}{w^4 + 1}\left( 7 + 8\right)$
分解因式，有：$2 - 3w^2 + 2w^4 = 0$， 也即有$\frac{w^2}{1 + w^4} = \frac{2}{3}$
斜边长=$| \frac{15(w^4 - 1)}{1 + w^4} - 15| = \frac{30}{|1 + w^4|} = 30\frac{w^2}{1 + w^4} = 20$

mathematica

hejoseph 发表于 2021-5-31 14:18
总是用软件来代替自己的思考当然很多事情会觉得难了。
就用一下正弦定理吧，$7$ 和 $8$ 之间的那条斜边设 ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. ans=Solve[
   
3. {
   
4.     x/Sin[2*a]==8/Sin[a],(*正弦定理*)
   
5.     7/x==Cos[3*a],
   
6.     y==(7+8)/Cos[2*a],
   
7.     0<a<Pi/6
   
8. }
   
9. ,{a,x,y}]//FullSimplify
   

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求解结果
\[\left\{\left\{a\to 2 \cot ^{-1}\left(2 \sqrt{2}+\sqrt{7}\right),x\to 4 \sqrt{14},y\to 20\right\}\right\}\]

mathematica

我把图片换了，增加了点的ABCD编号

creasson

creasson 发表于 2021-5-31 16:45
给个另类解法：
三角形ABC，如果给定两个角B,C，记$z = e^{iB},w = e^{iC}$，那么A点可表示为: $ A = B +  ...

第一行的结论对任意三角形成立。
本题中，由这个结论，即有：
\[D = A + \frac{{\left( {1 - {{\left( {{e^{i\angle ABD}}} \right)}^2}} \right){{\left( {{e^{i\angle DAB}}} \right)}^2}}}{{1 - {{\left( {{e^{i\angle ABD}}} \right)}^2}{{\left( {{e^{i\angle DAB}}} \right)}^2}}}\left( {B - A} \right)\]
\[D = A + \frac{{\left( {1 - {{\left( {{e^{i\angle ACD}}} \right)}^2}} \right){{\left( {{e^{i\angle DAB}}} \right)}^2}}}{{1 - {{\left( {{e^{i\angle ACD}}} \right)}^2}{{\left( {{e^{i\angle DAB}}} \right)}^2}}}\left( {C - A} \right)\]

王守恩

mathematica 发表于 2021-5-31 16:49
求解结果
\[\left\{\left\{a\to 2 \cot ^{-1}\left(2 \sqrt{2}+\sqrt{7}\right),x\to 4 \sqrt{14},y ...

这样好看一些。

\(\frac{y}{\sin(90°)}=\frac{x}{\sin(2a)}=\frac{15}{\cos(2a)},\ \ \frac{x}{\sin(3a)}=\frac{7}{\cos(3a)}\)

\(\frac{y}{\sin(90°)}=\frac{7\tan(3a)}{\sin(2a)}=\frac{15}{\cos(2a)}\)

\(y\sin(2a)=7\tan(3a)=15\tan(2a)\)

wangzhaoyu2

万能公式的笨方法，小孩子肯定不会弄这么复杂，估计解法还是做辅助线，找相似关系什么的。