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[提问] 初中题,求直角三角形斜边的长度

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发表于 2021-5-31 13:07:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 mathematica 于 2021-5-31 16:58 编辑

初中题,求直角三角形斜边的长度
搜狗截图20210531165637.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-5-31 13:08:29 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. ans=Solve[ArcTan[x/7]/3==ArcTan[x/(7+8)]/2&&x^2+(7+8)^2==y^2&&x>0&&y>0,{x,y}]
复制代码


求解结果
\[\left\{\left\{x\to 5 \sqrt{7},y\to 20\right\}\right\}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-5-31 13:11:20 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-5-31 13:08
求解结果
\[\left\{\left\{x\to 5 \sqrt{7},y\to 20\right\}\right\}\]

用正弦定理列方程组也能解决,但是感觉解方程组很难!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-5-31 14:18:57 | 显示全部楼层
总是用软件来代替自己的思考当然很多事情会觉得难了。
就用一下正弦定理吧,$7$ 和 $8$ 之间的那条斜边设为 $x$,最右边的三角形由正弦定理得\[
\frac{x}{\sin 2\alpha}=\frac{8}{\sin\alpha}
\]求得\[
x=16\cos\alpha
\]另外由最右边的直角三角形得\[
x\cos 3\alpha=7
\]而\[
x\cos 3\alpha=16\cos\alpha\cos 3\alpha=8(\cos 4\alpha+\cos 2\alpha)=16\cos^2 2\alpha+8\cos 2\alpha-8
\]即得方程\[
16\cos^2 2\alpha+8\cos 2\alpha-15=0
\]解这个方程得\[
\cos 2\alpha=\frac{3}{4}
\]因此所求长度即\[
\frac{7+8}{\cos 2\alpha}=20
\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-5-31 16:45:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 creasson 于 2021-5-31 16:46 编辑

给个另类解法:
三角形ABC,如果给定两个角B,C,记$z = e^{iB},w = e^{iC}$,那么A点可表示为: $ A = B + \frac{\left(1 - w^2 \right)z^2}{\left( 1 - w^2z^2 \right)}\left( C - B \right)$
回到本题,若令$w = e^{i\alpha }$, 即有:$\frac{w^6 - 1}{w^6 + 1}7 = \frac{w^4- 1}{w^4 + 1}\left( 7 + 8\right)$
分解因式,有:$2 - 3w^2 + 2w^4 = 0$, 也即有$\frac{w^2}{1 + w^4} = \frac{2}{3}$
斜边长=$| \frac{15(w^4 - 1)}{1 + w^4} - 15| = \frac{30}{|1 + w^4|} = 30\frac{w^2}{1 + w^4} = 20$




点评

根据我有限的经验,BC两点求A点,那么BC两点的地位应该是平等的,可是你这两点的表达式并不对称  发表于 2021-6-1 09:12
不是太懂,更新一下  发表于 2021-5-31 17:01
我把图片换了,增加了点的ABCD编号  发表于 2021-5-31 16:58
不需要原点啊  发表于 2021-5-31 16:57
哪个点是原点呀?  发表于 2021-5-31 16:53
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-5-31 16:49:21 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2021-5-31 14:18
总是用软件来代替自己的思考当然很多事情会觉得难了。
就用一下正弦定理吧,$7$ 和 $8$ 之间的那条斜边设 ...
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. ans=Solve[
  3. {
  4.     x/Sin[2*a]==8/Sin[a],(*正弦定理*)
  5.     7/x==Cos[3*a],
  6.     y==(7+8)/Cos[2*a],
  7.     0<a<Pi/6
  8. }
  9. ,{a,x,y}]//FullSimplify
复制代码


求解结果
\[\left\{\left\{a\to 2 \cot ^{-1}\left(2 \sqrt{2}+\sqrt{7}\right),x\to 4 \sqrt{14},y\to 20\right\}\right\}\]
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 楼主| 发表于 2021-5-31 16:58:53 | 显示全部楼层
我把图片换了,增加了点的ABCD编号
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发表于 2021-5-31 17:16:02 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2021-5-31 16:45
给个另类解法:
三角形ABC,如果给定两个角B,C,记$z = e^{iB},w = e^{iC}$,那么A点可表示为: $ A = B +  ...

第一行的结论对任意三角形成立。
本题中,由这个结论,即有:
\[D = A + \frac{{\left( {1 - {{\left( {{e^{i\angle ABD}}} \right)}^2}} \right){{\left( {{e^{i\angle DAB}}} \right)}^2}}}{{1 - {{\left( {{e^{i\angle ABD}}} \right)}^2}{{\left( {{e^{i\angle DAB}}} \right)}^2}}}\left( {B - A} \right)\]
\[D = A + \frac{{\left( {1 - {{\left( {{e^{i\angle ACD}}} \right)}^2}} \right){{\left( {{e^{i\angle DAB}}} \right)}^2}}}{{1 - {{\left( {{e^{i\angle ACD}}} \right)}^2}{{\left( {{e^{i\angle DAB}}} \right)}^2}}}\left( {C - A} \right)\]

点评

是否对称取决于观察的角度,如果取三角形的外心作为基本点,也就对称了,没必要。  发表于 2021-6-1 09:24
表达式太丑了,能把表达式弄得对称一些吗?我感觉BD两点应该是对称的!  发表于 2021-6-1 08:42
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-5-31 19:19:54 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-5-31 16:49
求解结果
\[\left\{\left\{a\to 2 \cot ^{-1}\left(2 \sqrt{2}+\sqrt{7}\right),x\to 4 \sqrt{14},y ...

这样好看一些。

\(\frac{y}{\sin(90°)}=\frac{x}{\sin(2a)}=\frac{15}{\cos(2a)},\ \ \frac{x}{\sin(3a)}=\frac{7}{\cos(3a)}\)

\(\frac{y}{\sin(90°)}=\frac{7\tan(3a)}{\sin(2a)}=\frac{15}{\cos(2a)}\)

\(y\sin(2a)=7\tan(3a)=15\tan(2a)\)
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发表于 2021-5-31 22:10:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 wangzhaoyu2 于 2021-5-31 22:16 编辑

QQ截图20210531220821.png
万能公式的笨方法,小孩子肯定不会弄这么复杂,估计解法还是做辅助线,找相似关系什么的。

点评

我感觉是mathCAD  发表于 2021-6-1 08:12
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