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[原创] 内角平分定理的几种复数证明方法

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发表于 2021-5-31 23:08:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,假设BD是角平分线,证明:AB : AC=AD : DC
方法1:参考https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 34&fromuid=1134,这是最简单的方法。
方法2:https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 39&fromuid=1134
方法3:https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 53&fromuid=1134

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-1 08:29:08 | 显示全部楼层
做垂足,难道不是最简单的办法吗?

点评

初中课本作平行线最简单  发表于 2021-6-1 21:49
讨论复数证明方法  发表于 2021-6-1 20:45
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-1 21:48:03 | 显示全部楼层

如图,已知AD是平分线,证明AC:AB=CD:BC
证明:假设B在原点,c=1,\(\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}}=\lambda v,可求得a=\frac{1}{1-\lambda v},\bar a=\frac{v}{v-\lambda}\),
AD的方程是:\(z-\frac{v-\lambda}{1-\lambda v}\bar z=\frac{1}{1-\lambda v}-\frac{v}{1-\lambda v}\)
与实轴的方程联立可以求出\(d=\frac{1}{1+\lambda},所以\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}}=-\lambda\)

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发表于 2021-6-2 15:52:03 | 显示全部楼层
\(\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD} = 2 S_{\Delta{}ABD}\)
\(\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DB} = 2 S_{\Delta{}ABD}\)
\(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD} = 2 S_{\Delta{}BCD}\)
\(\overrightarrow{DC}\times\overrightarrow{DB} = 2 S_{\Delta{}BCD}\)
\(\angle_{ABD} = \angle_{CBD} =\alpha\)
\(\angle_{BDC} = \beta\)
\(|AB|\cdot|BD|\cos\alpha = |AD|\cdot|BD||\cos(\pi-\beta)| \)

\(|BC|\cdot|BD|\cos\alpha = |CD|\cdot|BD|\cos\beta \)

\[|AB|:|BC|=|AD|:|CD|\]


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发表于 2021-6-3 07:26:47 | 显示全部楼层
已知AD是角平分线,证明 \(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\)

\(\D\frac{AB}{AC}=\frac{\sin(b)}{\frac{\sin(b)\sin(a+b)}{\sin(b-a)}}=\frac{\sin(b-a)}{\sin(a+b)}=\frac{\sin(a)}{\frac{\sin(a)\sin(a+b)}{\sin(b-a)}}=\frac{DB}{DC}\)

补充内容 (2021-6-4 05:40):
b=∠BAD

补充内容 (2021-6-4 05:45):
订正:a=∠BAD,b=∠BDA

点评

(b)是什么  发表于 2021-6-3 21:17
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发表于 2021-6-3 08:30:54 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-6-3 07:26
已知AD是角平分线,证明 \(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\)

\(\D\frac{AB}{AC}=\frac{\sin(b)}{\frac{\si ...

已知AD是角不均分线(平分只是特殊选项,不均分才是普遍现象),

证明 \(\ \frac{AB*DC*\sin(x)\ \ }{AC*DB*\sin(y)\ \ }\equiv 1\ \ \ \    ∠BAC=x+y\)

\(\D\frac{AB*DC*\sin(x)\ \ }{AC*DB*\sin(y)\ \ }\equiv\frac{\sin(b)*\frac{\sin(y)\sin(x+b)\ \ }{\sin(b-y)}*\sin(x)\ \ \ \ }{\frac{\sin(b)\sin(x+b)\ \ }{\sin(b-y)}*\sin(x)*\sin(y)\ \ \ \ }\equiv 1\)
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 楼主| 发表于 2021-6-3 22:47:10 | 显示全部楼层
求证:BD是平分线,AB:BC=AD:CD.
证明:假设B在原点,BD在实轴上。
\begin{equation}
\left\{
             \begin{array}{lr}
             \frac{a}{\bar a}=\frac{\bar c}{c}\Rightarrow\frac{a-\bar a}{\bar a}=\frac{\bar c-c}{c}\Rightarrow\frac{a-\bar a}{\bar c-c}=\frac{\bar a}{c}\\\

            \frac{a-d}{\bar a-d}=\frac{c-d}{\bar c-d}\Rightarrow\frac{a-d}{\bar a-a}=\frac{c-d}{\bar c -c}\Rightarrow\frac{a-\bar a}{\bar c-c}=\frac{\bar a}{c} &  
             \end{array}
\right.
\end{equation}
————————————————
不明白编号如何自动加上去,右大括号如何输入?

实轴过角平分线

实轴过角平分线
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