内角平分定理的几种复数证明方法

dlsh

如图，假设BD是角平分线，证明：AB : AC=AD : DC
方法1：参考https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 34&fromuid=1134，这是最简单的方法。
方法2：https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 39&fromuid=1134
方法3：https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 53&fromuid=1134

mathematica

做垂足，难道不是最简单的办法吗？

dlsh

如图，已知AD是平分线，证明AC：AB=CD：BC
证明：假设B在原点，c=1，\(\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}}=\lambda v,可求得a=\frac{1}{1-\lambda v},\bar a=\frac{v}{v-\lambda}\)，
AD的方程是：\(z-\frac{v-\lambda}{1-\lambda v}\bar z=\frac{1}{1-\lambda v}-\frac{v}{1-\lambda v}\)
与实轴的方程联立可以求出\(d=\frac{1}{1+\lambda}，所以\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}}=-\lambda\)

nemwark

\(\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD} = 2 S_{\Delta{}ABD}\)
\(\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DB} = 2 S_{\Delta{}ABD}\)
\(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD} = 2 S_{\Delta{}BCD}\)
\(\overrightarrow{DC}\times\overrightarrow{DB} = 2 S_{\Delta{}BCD}\)
\(\angle_{ABD} = \angle_{CBD} =\alpha\)
\(\angle_{BDC} = \beta\)
\(|AB|\cdot|BD|\cos\alpha = |AD|\cdot|BD||\cos(\pi-\beta)| \)

\(|BC|\cdot|BD|\cos\alpha = |CD|\cdot|BD|\cos\beta \)

\[|AB|:|BC|=|AD|:|CD|\]

王守恩

已知AD是角平分线，证明 \(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\)

\(\D\frac{AB}{AC}=\frac{\sin(b)}{\frac{\sin(b)\sin(a+b)}{\sin(b-a)}}=\frac{\sin(b-a)}{\sin(a+b)}=\frac{\sin(a)}{\frac{\sin(a)\sin(a+b)}{\sin(b-a)}}=\frac{DB}{DC}\)

补充内容 (2021-6-4 05:40):
b=∠BAD

补充内容 (2021-6-4 05:45):
订正：a=∠BAD,b=∠BDA

王守恩

王守恩 发表于 2021-6-3 07:26
已知AD是角平分线，证明 \(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\)

\(\D\frac{AB}{AC}=\frac{\sin(b)}{\frac{\si ...

已知AD是角不均分线(平分只是特殊选项，不均分才是普遍现象)，

证明 \(\ \frac{AB*DC*\sin(x)\ \ }{AC*DB*\sin(y)\ \ }\equiv 1\ \ \ \    ∠BAC=x+y\)

\(\D\frac{AB*DC*\sin(x)\ \ }{AC*DB*\sin(y)\ \ }\equiv\frac{\sin(b)*\frac{\sin(y)\sin(x+b)\ \ }{\sin(b-y)}*\sin(x)\ \ \ \ }{\frac{\sin(b)\sin(x+b)\ \ }{\sin(b-y)}*\sin(x)*\sin(y)\ \ \ \ }\equiv 1\)

dlsh

已知：`BD`是`ΔABC`的角平分线，求证：`AB:BC=AD:CD`.
证明：不妨将`B`置于原点，`D`置于正实轴上，那么`c=λ\bar a,\bar c=λa,d=\bar d`
由`A,C,D`共线得$(a-d)/(\bar a-\bar d)=(c-d)/(\bar c-\bar d)$ $→(a-d)/(c-d)=(\bar a-d)/(\bar c-d)=(a-\bar a)/(c-\bar c)=(a-\bar a)/(λ\bar a-λa)=-1/λ=-(\bar a)/c$
取模即得$AB:BC=AD:CD$