已知四面体的底面三棱长和三个棱面角，如何求体积

lihpb01 · 发表于 2021-6-5 21:19:27

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四面体ABCD的底面三角形ABC中，已知AB=c，AC=b，BC=a。AD、BD、CD分别与三角形ABC所夹的棱面角为θ₁、θ₂、θ₃.
如何求该四面体体积

mathe · 发表于 2021-6-6 14:08:58

假设D点在平面ABC上投影为E,E到BC,AC,AB的距离分别为$r_1,r_2,r_3$,
于是我们得到
$\begin{cases}\frac{DE}{r_1}=\tan(\theta_1)\\\frac{DE}{r_2}=\tan(\theta_2)\\\frac{DE}{r_3}=\tan(\theta_3)\end{cases}$
消去DE,可以得出$r_1\tan(\theta_1)=r_2\tan(\theta_2)=r_3\tan(\theta_3)$, 另外我们还可以得到$ar_1+br_2+cr_3=2S$
其中S为三角形ABC的面积，可以用海伦公式计算。由此，我们得出关于$r_1,r_2,r_3$的线性方程组，可以解得它们，最后可以算出高DE

lihpb01 · 发表于 2021-6-6 18:11:36

本帖最后由 lihpb01 于 2021-6-6 18:20 编辑

二楼是错的，题目已知的是棱面角，不是二面角，二楼给θ的是二面角

mathe · 发表于 2021-6-6 20:56:42

接法区别也不大，只是E点坐标满足三个阿氏圆。

wangzhaoyu2 · 发表于 2021-6-7 11:48:59

https://www.geogebra.org/classic/xnpdac3x

hejoseph · 发表于 2021-6-9 10:51:13

与其求体积，更重要的问题是如何确定四面体，确定了以后四面体的所有量都能求出来了。

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