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[转载] 已知一个凸四边形的四条边的长度依次是5、6、9、7它的面积是30。设这个凸四边形的...

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发表于 2021-6-7 08:12:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知一个凸四边形的四条边的长度依次是5、6、9、7它的面积是30。设这个凸四边形的两条对角线的夹角中的锐角为β,求tanβ的值(荐题:广东独孤求败)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-7 08:13:51 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
  2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
  3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
  4. (*海伦公式*)
  5. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
  6. ans=Solve[{
  7.     heron[5,6,x]+heron[7,9,x]==30,(*x是对角线,5 6 x是一个三角形,7 9 x是一个三角形,两个面积相加等于30*)
  8.     ArcCos@cs[6,9,y]==ArcCos@cs[6,x,5]+ArcCos@cs[9,x,7],(*两个小角相加等于一个大角*)
  9.     30==1/2*x*y*sin,(*对角线乘积乘以正弦*0.5=四边形面积*)
  10.     sin==tan/Sqrt[1+tan^2],(*正切与正弦之间的关系*)
  11.     x>0&&y>0&&sin>0&&tan>0
  12. },{x,y,sin,tan}]//FullSimplify
复制代码


求解结果
\[\left\{\left\{x\to \sqrt{\frac{312523-29400 \sqrt{47}}{4258}},y\to 3 \sqrt{\frac{29400 \sqrt{47}+312523}{32498}},\sin \to \frac{40}{\sqrt{1649}},\tan \to \frac{40}{7}\right\}\right\}\]

\[\{\{x\to 5.10497,y\to 11.9319,\sin \to 0.98503,\tan \to 5.71429\}\}\]

点评

方程思想太牛逼了!  发表于 2021-6-7 09:49
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-7 08:16:10 | 显示全部楼层
更简单的见下面
四边形的面积公式 - 自由哲人的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/25937122

5*5+9*9-6*6-7*7=21
4*30/21=5.71428571429=40/7
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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