已知一个凸四边形的四条边的长度依次是5、6、9、7它的面积是30。设这个凸四边形的...

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已知一个凸四边形的四条边的长度依次是5、6、9、7它的面积是30。设这个凸四边形的两条对角线的夹角中的锐角为β,求tanβ的值(荐题:广东独孤求败)

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1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*海伦公式*)
   
5. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
6. ans=Solve[{
   
7.     heron[5,6,x]+heron[7,9,x]==30,(*x是对角线，5 6 x是一个三角形，7 9 x是一个三角形，两个面积相加等于30*)
   
8.     ArcCos@cs[6,9,y]==ArcCos@cs[6,x,5]+ArcCos@cs[9,x,7],(*两个小角相加等于一个大角*)
   
9.     30==1/2*x*y*sin,(*对角线乘积乘以正弦*0.5=四边形面积*)
   
10.     sin==tan/Sqrt[1+tan^2],(*正切与正弦之间的关系*)
    
11.     x>0&&y>0&&sin>0&&tan>0
    
12. },{x,y,sin,tan}]//FullSimplify
    

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求解结果
\[\left\{\left\{x\to \sqrt{\frac{312523-29400 \sqrt{47}}{4258}},y\to 3 \sqrt{\frac{29400 \sqrt{47}+312523}{32498}},\sin \to \frac{40}{\sqrt{1649}},\tan \to \frac{40}{7}\right\}\right\}\]

\[\{\{x\to 5.10497,y\to 11.9319,\sin \to 0.98503,\tan \to 5.71429\}\}\]

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更简单的见下面
四边形的面积公式 - 自由哲人的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/25937122

5*5+9*9-6*6-7*7=21
4*30/21=5.71428571429=40/7