2021全国高考数学压轴题的一般化结论

wayne

已知函数$f(x)$存在两个零点，$x_1,x_2$,即$f(x_1)=0,f(x_2)=0$,  $f(x)$在区间$(x_1,x_2)$内是凸函数,即$x\in(x_1,x_2), f''(x)<0$。

设$f'(x_0)=0$,证明或者探明一个结论的存在条件： 取$(x_1,x_2)$内的两点$a,b$,如果$ f(a)=f(b)$,则$2x_0 <= a+b<= x_1+x_2$

zeroieme

反例
设f(x)满足题目结论。
可设计一水平反转函数g(x)=f(-x) ,有g''(-x0)=0 ，g(-a)=g(-b)，并-2x0>=(-a)+(-b)

kastin

猜测成立条件是：在 `x\in(x_1,x_2)` 上，`f'''(x)>0`.

wayne

三阶导数是加加速度吗。
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我不知道怎么解析表达，有种感觉是可以解析分析的。
如果设$f(x)=y$,那么反函数，$x=f^{-1}(y)$随着$y$从$0$到极值处$f^{-1}(x_0)$变化，翻转一下，两个分支其实是一致连续，同步单调的，所以两个零点之和$x_1+x_2$ 应该是连续的单调变化的，其变化区间就在 顶部和底部。但这只是一种直觉。

mathe

由于函数在$x<x_0$单调增，在$x>x_0$单调减。
$2x_0\le a+b$的一个必要条件是对于$x\ge x_0$时，必然有$f(2x_0-x)\le f(x)$
而$a+b \le x_1+x_2$的一个必要条件是对于$x\ge \frac{x_1+x_2}2$时,$f(x)\le f(x_1+x_2-x)$

kastin

可证明3楼结果是一个充分条件。
思路如下：将 `f(x_1)` 和 `f(x_2)`都在 `(a+b)/2` 处泰勒展开至三阶，含拉格朗日余项。然后二式相减。利用已知条件以及3楼结果，可知 `a+b \leqslant x_1+x_2`;
然后用同样的方式分别将 `f(\frac{a+b}2)` 和 `f(\frac{x_1+x_2}2)` 在 `x_0` 处泰勒展开至三阶，带拉格朗日余项。利用极值点两侧单调性和3楼结果，可证明 `x_0\leqslant \D \frac{a+b}2` 以及 `x_0 \leqslant \D\frac{x_1+x_2}2`.
但不知3楼结果是否也是必要条件，以及唯一性也不得而知。