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[讨论] 2021全国高考数学压轴题的一般化结论

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发表于 2021-6-8 21:08:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知函数$f(x)$存在两个零点,$x_1,x_2$,即$f(x_1)=0,f(x_2)=0$,  $f(x)$在区间$(x_1,x_2)$内是凸函数,即$x\in(x_1,x_2), f''(x)<0$。

设$f'(x_0)=0$,证明或者探明一个结论的存在条件: 取$(x_1,x_2)$内的两点$a,b$,如果$ f(a)=f(b)$,则$2x_0 <= a+b<= x_1+x_2$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-9 09:03:30 | 显示全部楼层
反例
设f(x)满足题目结论。
可设计一水平反转函数g(x)=f(-x) ,有g''(-x0)=0 ,g(-a)=g(-b),并-2x0>=(-a)+(-b)
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发表于 2021-6-9 13:34:32 | 显示全部楼层
猜测成立条件是:在 `x\in(x_1,x_2)` 上,`f'''(x)>0`.
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 楼主| 发表于 2021-6-10 09:16:32 | 显示全部楼层
三阶导数是加加速度吗。
---
我不知道怎么解析表达,有种感觉是可以解析分析的。
如果设$f(x)=y$,那么反函数,$x=f^{-1}(y)$随着$y$从$0$到极值处$f^{-1}(x_0)$变化,翻转一下,两个分支其实是一致连续,同步单调的,所以两个零点之和$x_1+x_2$ 应该是连续的单调变化的,其变化区间就在 顶部和底部。但这只是一种直觉。

点评

三阶导数可以看成是导函数的二阶导数,理解成成导函数图象是凹函数。  发表于 2021-6-10 12:03
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发表于 2021-6-10 16:56:52 | 显示全部楼层
由于函数在$x<x_0$单调增,在$x>x_0$单调减。
$2x_0\le a+b$的一个必要条件是对于$x\ge x_0$时,必然有$f(2x_0-x)\le f(x)$
而$a+b \le x_1+x_2$的一个必要条件是对于$x\ge \frac{x_1+x_2}2$时,$f(x)\le f(x_1+x_2-x)$
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发表于 7 天前 | 显示全部楼层
可证明3楼结果是一个充分条件。
思路如下:将 `f(x_1)` 和 `f(x_2)`都在 `(a+b)/2` 处泰勒展开至三阶,含拉格朗日余项。然后二式相减。利用已知条件以及3楼结果,可知 `a+b \leqslant x_1+x_2`;
然后用同样的方式分别将 `f(\frac{a+b}2)` 和 `f(\frac{x_1+x_2}2)` 在 `x_0` 处泰勒展开至三阶,带拉格朗日余项。利用极值点两侧单调性和3楼结果,可证明 `x_0\leqslant \D \frac{a+b}2` 以及 `x_0 \leqslant \D\frac{x_1+x_2}2`.
但不知3楼结果是否也是必要条件,以及唯一性也不得而知。
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