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[讨论] 已知线面角求面角

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发表于 2021-6-9 10:52:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

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空间三条射线 $OA$、$OB$、$OC$,已知 $OA$ 与平面 $BOC$ 的夹角是 $\alpha$,$OB$ 与平面 $AOC$ 的夹角是 $\beta$,$OC$ 与平面 $AOB$ 的夹角是 $\gamma$,求 $\angle AOB$、$\angle AOC$、$\angle BOC$。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-10 20:17:04 | 显示全部楼层
参考文献:三面角的棱面角的计算公式
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 楼主| 发表于 2021-6-11 10:30:06 | 显示全部楼层
lihpb01 发表于 2021-6-10 20:17
参考文献:三面角的棱面角的计算公式

线面夹角的公式当然知道,但这个问题是刚好相反的问题。
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发表于 2021-6-11 11:02:48 | 显示全部楼层
3个棱面角的余弦值可以表示成3个线线角的正余弦值。

然后在利用正弦定理:3个棱面角与对应的线线角正弦乘积相等。

6个方程解6个未知数,可以解出3个线线角各自的正余弦值
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 楼主| 发表于 6 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2021-6-15 15:15 编辑

这是一个类似于已知三角形三高求三角形的问题。这里的符号跟主贴的不一样,$\theta_A$ 是 $OA$ 与平面 $BOC$ 的所成角,$\theta_B$ 是 $OB$ 与平面 $AOC$ 的所成角,$\theta_C$ 是 $OC$ 与平面 $AOB$ 的所成角。

设 $\angle BOC=\alpha$、$\angle AOC=\beta$、$\angle AOB=\gamma$,则
\begin{align*}
\cos\theta_A=\frac{\sqrt{\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}}{\sin\alpha},\\
\cos\theta_B=\frac{\sqrt{\cos^2\alpha+\cos^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}}{\sin\beta},\\
\cos\theta_C=\frac{\sqrt{\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}}{\sin\gamma},
\end{align*}
令$\Delta=1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$,则
\[
\sin\theta_A=\frac{\sqrt{\Delta}}{\sin\alpha},\sin\theta_B=\frac{\sqrt{\Delta}}{\sin\beta},\sin\theta_C=\frac{\sqrt{\Delta}}{\sin\gamma},(1)
\]
记 $t=\sin\theta_A$,$u=\sin\theta_B$,$v=\sin\theta_C$,由 (1) 可得
\[
\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\frac{\Delta}{t^2}},\cos\beta=\pm\sqrt{1-\frac{\Delta}{u^2}},\cos\gamma=\pm\sqrt{1-\frac{\Delta}{v^2}},(2)
\]
由$\Delta=1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$得
\[
(\Delta-1+\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)^2=4\cos^2\alpha\cos^2\beta\cos^2\gamma,(3)
\]
把 (2) 代入 (3),整理得
\[
4t^2u^2v^2\Delta^2+P\Delta+4t^4u^4v^4=0,(4)
\]
其中
\[
P=t^4u^4+t^4v^4+u^4v^4+t^4u^4v^4-2t^2u^2v^2(t^2+u^2+v^2+t^2u^2+t^2v^2+u^2v^2),
\]
(4) 求出的 $\Delta$ 必须是正数,这些正数代入 (2),使其都是实数,并且其 $\pm$ 符号适当选取使 $\Delta=1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$ 成立,此时的 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 就是所求得解。若 $\angle BOC=\alpha$、$\angle AOC=\beta$、$\angle AOB=\gamma$ 是解,则 $\angle BOC=180^\circ-\alpha$、$\angle AOC=180^\circ-\beta$、$\angle AOB=\gamma$ 或 $\angle BOC=180^\circ-\alpha$、$\angle AOC=\beta$、$\angle AOB=180^\circ-\gamma$ 或 $\angle BOC=\alpha$、$\angle AOC=180^\circ-\beta$、$\angle AOB=180^\circ-\gamma$ 都是满足条件的解。
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