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发表于 2021-6-17 13:06:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 王守恩 于 2021-6-17 13:11 编辑

\(ΔABC\) 中,\(D\) 为\( BC\) 中点,\(E\)是\(BD\)上的点,且\( ∠BAE=∠CAD\)

试证:\(\D\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{EC}}{\sqrt{EB}}\)

记\( ∠BAE=∠CAD=a\ \ \ ∠EAD=b\ \ \ \) 我们有内角不均分线定理

\(\D1\equiv\frac{AB*\sin(a)*EC}{AC*\sin(a+b)*EB}=\frac{AC*\sin(a)*DB}{AB*\sin(a+b)*DC}\equiv1\)

\(\D\frac{AB*\sin(a)*EC}{AC*\sin(a+b)*EB}=\frac{AC*\sin(a)*DB}{AB*\sin(a+b)*DC}\)

\(\D\frac{AB*EC}{AC*EB}=\frac{AC*DB}{AB*DC}\)

\(\D\frac{(AB)^2}{(AC)^2}=\frac{EB*DB}{EC*DC}\)

\(\D\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{EB}}{\sqrt{EC}}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-21 16:10:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-6-21 16:14 编辑

三角形 ABC 内找一点 P ,使三个三角形 PAB、PBC、PCA 的周长相等。
解下面的方程即可。记:\(∠PAB=\theta\ \ \ A,B\) 为已知条件。
\(\sin A + PB + PC =\sin B+ PC + PA =\sin(A+B) + PA + PB\ \ \ \ \ 2 PA =\frac{(\sin A - \sin B)^2 - \sin^2(A+B)\ \ }{\sin A -\sin B - \sin(A+B)\cos\theta\ \ } =\frac{ (\sin A -\sin(A+B))^2 -\sin^2B\ \ }{\sin A-\sin(A+B) -\sin B\cos(A - \theta)\ \ }\)
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