怎么求这3个定积分

lihpb01 · 发表于 2021-6-19 21:30:20

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里面的x是无穷重幂，可以证明被积函数在积分域的上下界是【1/e，e】，被积函数计算方向是从右到左

lihpb01 · 发表于 2021-6-19 21:30:49

本帖最后由 lihpb01 于 2021-6-19 21:37 编辑

求用e、欧拉常数、欧拉积分或者黎曼函数之类表示的解析解

wayne · 发表于 2021-6-19 22:03:42

被积函数如果存在，则根据$x^y=y$得到 $y(x)=-\frac{W(-\log (x))}{\log (x)}$,涉及到了 Lambert W-Function
https://mathworld.wolfram.com/ProductLog.html
https://zh.wikipedia.org/zh-hans ... W%E5%87%BD%E6%95%B0
接下来就是数值积分了。

mathe · 发表于 2021-6-26 16:29:50

可以试着做变量替换，设$y=x^{x^{x^{\cdots}}}=x^y$
于是$x=y^{1/y}$, $dx=-y^{1/y-2}(\log(y)-1)dy$
于是比如第一个转化后变为$\int_{1/e}^e y^{1/y-1} (1-\log(y))dy$

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