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[转载] 有几种不同排法?

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发表于 2021-7-5 17:02:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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将 1,2,3,…,7 排成一行,使前 k(k=1,2,…,6)个数之和都不能被 7 整除,有几种不同排法?

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7!不大,可以直接编程用暴力法不难找出满足要求的所有不同排法。  发表于 2021-7-6 15:10
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-7-8 08:48:58 | 显示全部楼层
谢谢各位大侠!我就是不知道这个程应该怎么编(不会编)。谢谢各位大侠!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-7-8 11:35:22 | 显示全部楼层
总和28。7不能排到行首和行尾,7在行中也不影响模7的余,可以视而不见,所以只有6!。
前k项之和不为7整除,则后(6-k)项之和亦是,所以问题等价于:
将{1,2,3,4,5,6}的一个排列从中截断为两段,各段的数字之和都不是7的倍数,这样的排列共有多少个。
这个答案乘以5倍(7有5个插板位置),就是原问题的答数。
显然,一个排列是,则其逆排列也是。故搜索范围可对称减半。
记`b_i=r·a_i\pmod{7}`(取绝对值最小剩余), 那`a_1a_2a_3a_4a_5a_6`是,则`b_1b_2b_3b_4b_5b_6`也是。

点评

mod是个好东西!  发表于 2021-7-16 05:38
175/7=25,15/7=2……1  发表于 2021-7-13 15:02

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参与人数 1威望 +9 金币 +9 贡献 +9 经验 +9 鲜花 +9 收起 理由
王守恩 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 先点赞!慢慢来欣赏。

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发表于 2021-7-9 15:52:23 | 显示全部楼层
经编程计算,共有2040种不同排法,详见附件,仅供参考。
PLFF7JS.dat (83.67 KB, 下载次数: 5)

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参与人数 1威望 +9 金币 +9 贡献 +9 经验 +9 鲜花 +9 收起 理由
王守恩 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 谢谢!答案正确。

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 楼主| 发表于 2021-7-11 14:43:43 | 显示全部楼层
2040/5=408, 这是3#所说的去掉 7 之后的等价问题的答数。
408/6=68, 最高位有6种等可能,故以 1 为首的共68个排列。

01:123456
02:123465
03:123546
04:123564
05:123645
06:123654
00:124×
07:125346
08:125364
09:125436
10:125464
10:1256×
11:126345
12:126354
13:126435
14:126453
00:1265×
15:132456
16:132465
17:132546
18:132564
19:132645
20:132654
21:134256
22:134265
23:134526
24:134562
00:1346×
25:135246
26:135264
27:135426
28:135462
29:135624
30:135642
31:136245
32:136254
00:1364×
33:136524
34:136542
00:142×
35:143256
36:143265
37:143526
38:143562
00:1436×
39:145236
40:145263
41:145326
42:145362
43:145623
44:145632
45:146235
46:146253
00:1463×
47:146523
48:146532
49:152346
50:152364
51:152436
52:152463
00:1526×
53:153246
54:153264
55:153426
56:153462
57:153624
58:153642
59:154236
60:154263
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62:154362
63:154623
64:154632
00:1562×
65:156324
66:156342
67:156423
68:156432
00:16×
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 楼主| 发表于 2021-7-15 07:15:22 | 显示全部楼层

手工计算法

将{1,2,3,4,5,6}的一个排列从中截断为两段,各段的数字之和都不是7的倍数,这样的排列共有多少个?

A1=符合要求的首 1 排列集,Ai=符合要求的首 i 排列集。
易知,Ai=i·A1(mod 7), 所以|Ai|=|A1|.(这就是楼上所说的首位有6种等可能)
所以我们只需要计算 |A1|。
|A1|=5!-4!(第2位是6)-2×3!((第2,3位是2,4)-8×2!((第2,3,4位是2,5,6与3,4,6)=68
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 楼主| 发表于 2021-7-16 05:24:53 | 显示全部楼层
将 1,2,…,6 排成一个圆圈,把这个圆排列任意剪成两段,各段的数字之和都不能被 7 整除,有几种不同的圆排列?
不妨把两个反向合同的圆排列视为相同。
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发表于 2021-7-16 16:41:49 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-7-15 07:15
将{1,2,3,4,5,6}的一个排列从中截断为两段,各段的数字之和都不是7的倍数,这样的排列共有多少个?

A1= ...

将{1,2,3,4,5,6}的一个排列从中截断为两段,各种截断方法中,两段的数字之和都不是7的倍数,这样的排列共有多少个?
经编程计算,共有408种不同排法,详见附件,仅供参考。
PLFF7JS0.dat (15.14 KB, 下载次数: 1)

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试试楼上的圆排列  发表于 2021-7-16 17:33
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发表于 2021-7-16 18:54:44 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-7-16 05:24
将 1,2,…,6 排成一个圆圈,把这个圆排列任意剪成两段,各段的数字之和都不能被 7 整除,有几种不同的圆排 ...

手工排了一下,不计方向只有7种,还是蛮稀贵的。而且这7个解还可以重叠摆放成下图的样子。
环排列截断和不被7整除.png
红圈上的环排列是独特的,对径和等于7,三数之和等于7和14的互相间隔,各占一个正三角形.
其它6个绿圈上的环排列可由乘法互换,在这个意义上可视为一个等价类。
试了一下想把红环放到中间,结果发现不可能。
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 楼主| 发表于 2021-7-17 14:48:47 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-7-16 05:24
将 1,2,…,6 排成一个圆圈,把这个圆排列任意剪成两段,各段的数字之和都不能被 7 整除,有几种不同的圆排 ...
先看1的左右,考虑1,6,124不能相邻,有以下5种模式
12⚪⚪⚪3
12⚪⚪⚪5
13⚪⚪⚪4
13⚪⚪⚪5
14⚪⚪⚪5
考虑 124,25,34 不能相邻,答案只有7种。
126453
123645
132654
132465
132645
136245
146235

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