x+y=2,求(x^2 + y^2)/((sqrt(x^2 + 1) sqrt(y^2 + 4))的最小值

anonymous

已知\(x+y=2\), 求\( \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+1} \sqrt{y^2+4}}\)的最小值
有没有简单的方法？

mathe

做变量替换t=x+2, 于是x=t-2,y=4-t代入，原表达式转化为
\(\D\frac{2(t+\frac{10}t-6)}{\sqrt{(t+\frac{10}t)^2-12(t+\frac{10}t)+37}}=\frac{2(t+\frac{10}t-6)}{\sqrt{(t+\frac{10}t-6)^2+1}}\)
于是设\(X=t+\frac{10}t-6 \ge 2\sqrt{10}-6 \ge 0\),变成求单调函数\(\frac{2X}{\sqrt{X^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac1{X^2}}}\)在$X\ge 2\sqrt{10}-6$的最值问题了

王守恩

可以这样：\(x=2\sin^2(\theta)\ \ \ \ y=2\cos^2(\theta)\)

anonymous

形式上有点类似余弦，能否转化为几何问题来解决？

wayne

我没有好方法， 不过，我可以变换成三角函数，让该函数有一个更清晰的规律。
设 目标式子$T$，那么对$\frac{1}{T^2}=\frac{\left(x^2+1\right) \left(y^2+4\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$做变换$x\to \frac{2 \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\cos (\alpha )},y\to \frac{2 \sin (\alpha )}{\sin (\alpha )+\cos (\alpha )}$,得到

$\frac{1}{T^2}=\frac{1}{8}(3+2 \sin (2 \alpha )-\cos (2 \alpha )) (3+\sin (2 \alpha )+2 \cos (2 \alpha ))= \frac{1}{16} (18 \sin (2 \alpha )+3 \sin (4 \alpha )+6 \cos (2 \alpha )-4 \cos (4 \alpha )+18)$。 所以是周期为$\pi$的函数。
这个时候，好像求导一下比较简洁,能直接因式分解，$(\sin (\alpha )+\cos (\alpha ))(\sin (\alpha )+2 \cos (\alpha )) (3 \cos (2 \alpha )-\sin (2 \alpha ))=0$,得极值点是$tan(\alpha)=-1 || tan(\alpha)= -2 || tan(2\alpha)=3$
分别代入得到$\frac{16}{T^2} = 4,4,23+-6 \sqrt{10}$, 所以$T = 2,2,\frac{4}{13} \left(3 \sqrt{2}+-\sqrt{5}\right)$
$T_{max} = 2 ,x=-2,y=4$
$T_{min} = \frac{4}{13} \left(3 \sqrt{2}-\sqrt{5}\right) =0.617407... ,x=-2+\sqrt{10}, y= 4-\sqrt{10}$
$T_{local} = \frac{4}{13} \left(3 \sqrt{2}+\sqrt{5}\right) =1.99345... ,x=-2-\sqrt{10}, y= 4+\sqrt{10}$

wayne

这三个极值点全是${-2+t,4-t}$的类型，刚好是 mathe在2楼的变量代换的形式 ，$1:2$刚好把分母构造出一个同类项。