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[提问] x+y=2,求(x^2 + y^2)/((sqrt(x^2 + 1) sqrt(y^2 + 4))的最小值

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发表于 2021-7-15 11:01:50 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知\(x+y=2\), 求\( \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+1} \sqrt{y^2+4}}\)的最小值
有没有简单的方法?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-7-16 08:03:06 | 显示全部楼层
做变量替换t=x+2, 于是x=t-2,y=4-t代入,原表达式转化为
\(\D\frac{2(t+\frac{10}t-6)}{\sqrt{(t+\frac{10}t)^2-12(t+\frac{10}t)+37}}=\frac{2(t+\frac{10}t-6)}{\sqrt{(t+\frac{10}t-6)^2+1}}\)
于是设\(X=t+\frac{10}t-6 \ge 2\sqrt{10}-6 \ge 0\),变成求单调函数\(\frac{2X}{\sqrt{X^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac1{X^2}}}\)在$X\ge 2\sqrt{10}-6$的最值问题了

点评

最大值是2  发表于 2021-7-17 17:06
最大值比较有意思  发表于 2021-7-16 16:32

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wayne + 6 + 6 + 6 妙啊,这都可以
anonymous + 2 + 2 赞一个!

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-7-16 08:53:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-7-16 08:54 编辑

可以这样:\(x=2\sin^2(\theta)\ \ \ \ y=2\cos^2(\theta)\)

点评

原题没有限定x,y非负。  发表于 2021-7-16 09:14
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 楼主| 发表于 2021-7-16 12:52:18 | 显示全部楼层
形式上有点类似余弦,能否转化为几何问题来解决?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-7-16 22:42:10 | 显示全部楼层
我没有好方法, 不过,我可以变换成三角函数,让该函数有一个更清晰的规律。
设 目标式子$T$,那么对$\frac{1}{T^2}=\frac{\left(x^2+1\right) \left(y^2+4\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$做变换$x\to \frac{2 \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\cos (\alpha )},y\to \frac{2 \sin (\alpha )}{\sin (\alpha )+\cos (\alpha )}$,得到

$\frac{1}{T^2}=\frac{1}{8}(3+2 \sin (2 \alpha )-\cos (2 \alpha )) (3+\sin (2 \alpha )+2 \cos (2 \alpha ))= \frac{1}{16} (18 \sin (2 \alpha )+3 \sin (4 \alpha )+6 \cos (2 \alpha )-4 \cos (4 \alpha )+18)$。 所以是周期为$\pi$的函数。
这个时候,好像求导一下比较简洁,能直接因式分解,$(\sin (\alpha )+\cos (\alpha ))(\sin (\alpha )+2 \cos (\alpha )) (3 \cos (2 \alpha )-\sin (2 \alpha ))=0$,得极值点是$tan(\alpha)=-1 || tan(\alpha)= -2 || tan(2\alpha)=3$
分别代入得到$\frac{16}{T^2} = 4,4,23+-6 \sqrt{10}$, 所以$T = 2,2,\frac{4}{13} \left(3 \sqrt{2}+-\sqrt{5}\right)$
$T_{max} = 2 ,x=-2,y=4$
$T_{min} = \frac{4}{13} \left(3 \sqrt{2}-\sqrt{5}\right) =0.617407... ,x=-2+\sqrt{10}, y= 4-\sqrt{10}$
$T_{local} = \frac{4}{13} \left(3 \sqrt{2}+\sqrt{5}\right) =1.99345... ,x=-2-\sqrt{10}, y= 4+\sqrt{10}$

点评

的确,直接平方,y替换为x求导计算也差不错  发表于 2021-7-19 09:54
不过好像并没有优势  发表于 2021-7-17 13:56
代换巧妙!  发表于 2021-7-17 00:53
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发表于 2021-7-17 17:04:08 | 显示全部楼层
这三个极值点全是${-2+t,4-t}$的类型,刚好是 mathe在2楼的变量代换的形式 ,$1:2$刚好把分母构造出一个同类项。

点评

机智!  发表于 1 小时前
替换形式就是根据极值点的形式构造的  发表于 2021-7-19 10:47
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