三只蚂蚁爬行

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三只蚂蚁爬行
平面上有三个不同的点，构成三角形，坐标分别是：$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$。
有三只蚂蚁，初始位置分别在上述各点上。每次的爬行方法如下：
        每只蚂蚁朝着其他蚂蚁（任意选择一只）每次爬行之前所在的点爬行，爬行的距离等于它们之间距离的$1/p$。(p>2)
完成第n次爬行后，所有蚂蚁爬行的总路程（从第1次一直到第n次）的总和记做S(n)。
n趋向于无穷时，S(n)的极限存在，记做S。
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    1. 求S的最大值Smax和最小值Smin。
    2. S的取值范围是否能取Smin和Smax之间的任何数。
    3. 当n趋向无穷时，三只蚂蚁会聚在一个点上，把这个点称作某种爬行方法的最终点(其实是极限位置)。那么所有可能的最终点在平面上构成什么图形（或求这些点的集合）。

比如p＝4，初始位置为A(0,0)，B(5,2)，C(2,4)。
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说明：  由于每只蚂蚁每次爬行的距离不一定相等，可能某蚂蚁已爬到目的地，其他蚂蚁还未爬到。在进行下一次爬行时，必须等所有的蚂蚁就位后才进行。

wayne

Frankenstein

wayne太强了！竟然给出了这个图形。
图形很漂亮。

mathabc

wayne大侠的图 不知 是不是一个等边三角形边缩小同时旋转而成？

winxos

wayne大侠的图 不知 是不是一个等边三角形边缩小同时旋转而成？
mathabc 发表于 2009-9-28 09:11

呵呵，坐标运算就可以了。
物理模拟或者直接数学解应该都是可以的。

winxos

1256
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wayne 发表于 2009-9-27 13:25

问一下wayne，mathematica中如何不换行输出呢？Print

wayne

不知 是不是一个等边三角形边缩小同时旋转而成？
mathabc 发表于 2009-9-28 09:11

几乎每本高中物理竞赛书上都有这道类似的题，比如三个芭蕾舞演员处在等边三角形的三个顶点上，以相同的拍子 匀速旋转移步，且都是以各自为目标靠近，跟楼主的蚂蚁完全一样。。。这种情况是离散的。

即便是到了大学，仍有这种题的原型，比如猎狗追赶兔子，速度比兔子快，兔子一根筋的匀速直线，猎狗也是匀速，(两个家伙都匀速，说明都到了速度极限且体力充沛呵呵)，一根筋的盯着兔子时刻改变方向，求猎狗多长时间能追上。这种情况是连续的。不过这题如果只求猎狗的初始加速度，是可以作为高中竞赛题出的。

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如果你想知道曲线的方程，可以Google一下，pursuit curve

wayne

问一下wayne，mathematica中如何不换行输出呢？Print
winxos 发表于 2009-9-29 10:09

不是很清楚你问题的细节，一般的，在语句末尾加分号可以抑制输出函数的返回值。
不过，如果遇到像Print，Message之类的非函数返回值性质的，而是强制输出的这种形式，即使你加了分号也会输出消息

056254628

回7楼：
7楼举的3个芭蕾演员的例子跟本题不是一样的。
3个芭蕾演员是始终朝着自己的固定目标，而本题的目标是随机变化的。
另外每只蚂蚁每次爬行的距离都不是一样的。（若p无穷大，那么可以换成即时速度，每只蚂蚁的速度都不一样。并且不同时候的速度也是不同的，到最后，速度越来越小）
只有随机选择目标，才会有最大值，最小值问题。
到底哪种爬行方案爬行的最终距离最长，哪种方案爬行的距离最短呢？
一般来说极值往往出现在最有序或最无序的地方。

winxos

不是很清楚你问题的细节，一般的，在语句末尾加分号可以抑制输出函数的返回值。
不过，如果遇到像Print，Message之类的非函数返回值性质的，而是强制输出的这种形式，即使你加了分号也会输出消息
wayne 发表于 2009-9-29 12:54

在循环语句中，比如你要输出前100个素数，一次Print一个，那么会有100行，怎么让100个数不以换行分割而是用逗号？