三角形ABC的垂心为H，满足AH^2=BH^2+CH^2+√2BH*CH，求∠BHC

anonymous

三角形ABC中，H为垂心，满足$\AH^2=\BH^2+CH^2+\sqrt{2} BH * CH$，求$∠BHC$

看到已知条件里有√2，其实不难猜到答案是135°，已经验证了，已知条件容易联想到余弦定理，联立之后感觉还是不好做。

mathe

(这个图和楼主的AC互换了，所以后面所有条件也如此处理）
如图，做三角形ABC和ABH的外接圆圆O和圆J，容易看出两圆关于AB对称,可以得出$CH=OJ=AB \ctg(C)$
在三角形ABH中再使用余弦定理得出$AB^2=AH^2+BH^2+2AH\times BH\times \cos(C)=CH^2 \tan^2(C) =(AH^2+BH^2+\sqrt(2) AH\times BH)\tan^2(C)$
于是得出 $(\tan^2(C)-1)(AH^2+BH^2)=(2\cos(C)-\sqrt(2)tan^2(C))AH\times BH$

首先显然对于C=45°等式成立，两边都等于0.而左边关于角度C是增函数，右边关于角度C是减函数，所以只能C=45°等式成立。
所以角AHB是C的补角为135°。

hujunhua

在图形直观上垂心H位于△ABC内部，据此假定锐角△ABC。
记∠BHC=H，三角形内角为A, B, C, 有A+H=π
则一方面，AH=2RcosA=-2RcosH, BC=2RsinA=2RsinH, ………………………………………………………(1)
另一方面，AH^2=BH^2+HC^2-2BH·HC·cos135°, BC^2=BH^2+HC^2-2BH·HC·cosH…………………(2)
当90°<H<135°, 45°<A<90°时，由(1)得 AH>BC, 但由(2)得 AH<BC，矛盾。
当135°<H<180°, 0°<A<45°时，由(1)得 AH<BC, 但由(2)得 AH>BC，矛盾。
故只有H=135°, 这时AH=BC。

wayne

设三角形顶$A,B,C$对应的三边分别是$a,b,c$, 那么不难得到$AH = 2R cosA，BH = 2R cosB，CH = 2R cosC$ , 再结合$a =BC= 2R sinA，b =AC= 2R sinB，c =AB= 2R sinC$, 以及余弦定理，代入条件得到
\[2\sin B \sin C \cos A=1+\sqrt{2}\cos B \cos C\]
所有的条件都用完了。所以，我们就直面这个方程吧。
设$s=sinB sinC, c=cosB cosC$，代入整理得 $c=\frac{2 s^2-1}{2 s+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt2s+1)(\sqrt2s-1)}{\sqrt2(\sqrt2s+1)}=s-\frac1{\sqrt2}$
于是$cos(B+C) = c-s = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。  所以$∠BHC = B+C = 135°$

wayne

既然这么凑巧那我们再往前走一步，将$\sqrt{2}$换成$k$，看看有没有什么其他的猫腻。 计算得到 $cos(B+C)  = -\frac{1+ k s}{k+2 s}$ , 为了 碰巧 抵消，那么 $\frac{1}{k} = \frac{k}{2}$ ， 即得$k=+-\sqrt{2}$ , 所有的猫腻都在这里， 至此完成了闭环。

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当楼主说 AH^2=BH^2+CH^2 - √2BH*CH，求∠BHC 的时候， 我们可以说 ∠BHC= 45度

楼主可否 告知 这个题目的 来源？
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