欧拉函数 φ(x+y)=φ(x)+φ(y)的互质解

wsc810

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https://math.stackexchange.com/q ... -of-phix-phiy-phixy

mathe

求出全部解很难，但是构造解好像比较简单
任意选择一个偶数x, 那么$x-\varphi(x)+2$是一个偶数，根据歌氏猜想可以写成两个奇素数之和即$x-\varphi(x)+2=u+v$
$q=uv-x$是一个奇数，对于q充分大时，它是一个素数的概率还是不小的。我们可以用计算机任意搜索q是素数的情况
于是对于这种情况
数字q和x满足
$\varphi(q+x)=(u-1)(v-1)=uv-u-v+1=q+x-u-v+1=q+\varphi(x)-1=\varphi(x)+\varphi(q)$
满足条件。
比如从x=2000开始搜索，可以找到
x=2000,q=34301
x=2000,q=145757
...
等

实验结果发现对于偶数x,至少存在一个q的概率大概在87.7%

mathe

如果我们给定y求是否存在对应的x,那么对于多数的y好像都会有解
比如
y=4,x=5
y=6,x=19
y=7,x=38
y=8,x=17
y=10,x=13069
y=11,x=16
y=12,x=133
y=13,x=14
但是y=9和y=15是否无解呢？
无解的y好像比例也不是太低，比如1071，1077等看上去也都像是无解