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[转载] 正方形与心脏线

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发表于 2021-8-18 21:16:10 | 显示全部楼层 |阅读模式

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心脏线与正方形.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-19 12:34:33 | 显示全部楼层
F的轨迹是心脏线,

123.PNG

geogebra-export.ggb

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点评

就是解析几何而已  发表于 2021-8-21 21:38
这题难  发表于 2021-8-21 20:39
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-21 21:25:49 | 显示全部楼层
题目条件简单,没有难度,就用解析几何,最后意外发现三角函数方程比较复杂,不太适合手工解答。
设ABCDE坐标分别是 $\{0,0\},\{0,-1\},\{1,-1\},\{1,0\},\{\sqrt{2} \cos (\alpha ),\sqrt{2} \sin (\alpha )\}$,因为F在AE上,所以$-\frac{\pi }{4}\leq \alpha \leq \frac{\pi }{4}$ , 那么F坐标是$\{-((\sqrt{2}-2 \cos (\alpha )) \cos (\alpha )),\sin (2 \alpha )-\sqrt{2} \sin (\alpha )\}$, G点的坐标是
\[\left\{-\frac{1}{-\tan (\alpha )+\frac{\sec (\alpha )}{\sqrt{2}-2 \cos (\alpha )}-1},\frac{\left(\sqrt{2}-2 \cos (\alpha )\right) \cos (\alpha )}{-\sqrt{2} \sin (\alpha )+\sin (2 \alpha )+\cos (2 \alpha )-\sqrt{2} \cos (\alpha )+2}\right\}\]
由于$BG=EC$得到
\[-10 \sqrt{2} \sin (\alpha )+22 \sin (2 \alpha )-11 \sqrt{2} \sin (3 \alpha )+8 \sin (4 \alpha )-2 \sin \left(5 \alpha +\frac{\pi }{4}\right)+30 \cos (2 \alpha )-32 \sqrt{2} \cos (\alpha )-9 \sqrt{2} \cos (3 \alpha )+4 \cos (4 \alpha )+27=0\]
解得$\alpha =-\frac{\pi }{12}$,也就是$/_EAD=30^{\circ}$, 代入计算得到 BG,EC的斜率都是$\sqrt{3}$,即角度都是$60^{\circ}$,所以 \( BG \parallel EC\)

  1. {a,b,c,d}={{0,0},{0,-1},{1,-1},{1,0}};
  2. e=Sqrt[2]{Cos[\[Alpha]],Sin[\[Alpha]]};
  3. f={x,y}/.First@Solve[{(x-1)^2+y^2==(e[[1]]-1)^2+e[[2]]^2,y e[[1]]==x e[[2]],x!=e[[1]]},{x,y}]//FullSimplify;
  4. g={x,y}/.First@Solve[{y+1==(f[[2]]-b[[2]])/(f[[1]]-b[[1]]) x,y==-x},{x,y}]//FullSimplify;
  5. ans=FullSimplify[Solve[Total[(b-g)^2]-Total[(e-c)^2]==0&&-Pi/4<=\[Alpha]<=Pi/4,\[Alpha]]]
  6. FullSimplify[(g[[2]]-b[[2]])/(g[[1]]-b[[1]])-(e[[2]]-c[[2]])/(e[[1]]-c[[1]])/.ans]
复制代码

点评

这类题条件简单,但是解析方法似乎也很难。  发表于 2021-8-22 20:28
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-21 22:12:46 | 显示全部楼层
关于这个方程的解法,$-10 \sqrt{2} \sin (\alpha )+22 \sin (2 \alpha )-11 \sqrt{2} \sin (3 \alpha )+8 \sin (4 \alpha )-2 \sin \left(5 \alpha +\frac{\pi }{4}\right)+30 \cos (2 \alpha )-32 \sqrt{2} \cos (\alpha )-9 \sqrt{2} \cos (3 \alpha )+4 \cos (4 \alpha )+27=0$
主要是系数有无理数。不过我们可以提取出$t=\sqrt{2}$的表达式,再回代$t^2-2$,就容易因式分解了
\[(2 \sin (2 \alpha )+1) \sec ^2(\alpha ) (-60 \sin (2 \alpha )-52 \sin (4 \alpha )-18 \sin (6 \alpha )-104 \cos (2 \alpha )-26 \cos (4 \alpha )+8 \cos (6 \alpha )+2 \cos (8 \alpha )-73)=0\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-22 10:40:53 | 显示全部楼层
請問這道題有沒有通俗易懂的解法?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-22 12:12:37 | 显示全部楼层
我解了一個早上,沒有解出来,希望高手能給出解答。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-22 13:20:36 | 显示全部楼层
C、D、E、F、G五点共圆,A是△BDG的九点圆圆心,C是△BEF的第二费马点。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-8-22 20:29:38 | 显示全部楼层
chyanog 发表于 2021-8-22 13:20
C、D、E、F、G五点共圆,A是△BDG的九点圆圆心,C是△BEF的第二费马点。

有没有具体的求解过程?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-8-22 20:49:37 | 显示全部楼层

不知道是否对

不知道是否对

不知道这方法对吗

点评

多谢指点  发表于 2021-8-23 21:52
方向对路(几何不等式),计算也正确,但最后“只有当点K与点B重合时,才有可能BG=KH”不充分。  发表于 2021-8-22 22:21
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-8-23 00:32:17 | 显示全部楼层
将△CDE水平左移至△BAH的位置,取平行四边形ADEH的对角线交点 I。
如楼上所设单位正方形,由1:√2=√2/2:1得△ADE∽△EIH,→∠DHE=∠AED=∠DFE,→DEFH共圆
取该圆与AD的另一交点J,由割线定理可得AF=AJ/√2.
在等腰△AHJ中,取底边之高线与AC的交点K,得等腰直角△AJK,有AK=AJ/√2=AF.→FK//CE.
无标题.png 图1
随着E点沿圆(A,C)从C点向上滑动,H亦在一条水平左移的圆弧上从B点向上滑动,左移圆弧与AC有唯一交点,
这是HK=0的位置,如图2,这时HKG重合,自有BG//=CE.
显然,这时C点也在DEFG(H,K)所在圆上,所以CF=EH=1.
并且DF=DE=AG=AF→BF=CF=1,所以△BCF为一个正三角形。
无标题1.png 图2
所以,问题变成求证在一般位置时,必有BH≠BG.
记BF与HK的交点为L(图中未画出),
在图1的情况下,BG>BL>BH=CE
在图3的情况下,BG<BL<BH=CE
无标题2.png 图3

点评

感謝提供資訊,就是不知道這個在綫作圓軟體能否畫出任何三角形內三個內切圓,三個圓兩兩相切。  发表于 2021-8-27 13:19
https://www.geogebra.org/geometry  发表于 2021-8-23 16:23
請問圖是用mathematica做的嗎?我可以用wolfram Engine来畫嗎?  发表于 2021-8-23 15:53
看懂了,大神思維太跳躍,差點看不懂。比如為甚麼△AHJ是等腰三角形,以及甚麼是割綫定理。  发表于 2021-8-23 10:19

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